Elemento primo

En matemáticas, especificamente en álxebra abstracta, un elemento primo dun anel conmutativo é un obxecto que satisficertas propiedades similares aos números primos dos enteiros e aos polinomios irreducíbeis. Débese ter coidado de distinguir os elementos primos dos elementos irreducíbeis, un concepto que é o mesmo nos UFD mas non o mesmo en xeral.

Definición

Un elemento $p$ dun anel conmutativo $R$ dise que é primo se non é o elemento cero ou unha unidade e sempre que $p$ divide $ab$ para algúns $a$ e $b$ en $R$ , entón $p$ divide $a$ ou $p$ divide $b$ . Con esta definición, o lema de Euclides é a afirmación de que os números primos son elementos primos no anel de enteiros. De forma equivalente, un elemento $p$ é primo se, e só se, o ideal principal $(p)$ xerado por $p$ é un ideal primo distinto de cero.^[1] (Teña en conta que nun dominio de integridade, o ideal $(0)$ é un ideal primo, mais $0$ é unha excepción na definición de "elemento primo".)

Ser primo está relacionado con en que anel se considera que está un elemento. Por exemplo, 2 é un elemento primo en $Z$ mais non está en $Z [i]$ , o anel dos enteiros gaussianos, xa que $2 = (1 + i)(1 - i)$ e 2 non divide ningún factor no lado dereito da igualdade.

Conexión cos ideais primos

Un ideal $I$ no anel $R$ (con unidade) é un primo se o anel factor $R / I$ é un dominio de integridade.

Nun dominio de integridade, un ideal principal distinto de cero é primo se e só se é xerado por un elemento primo.

Un elemento $p$ nun anel $R$ é un elemento primo se xera un ideal primo. Se $R$ é conmutativo, isto equivale a dicir que para todos os $a,b\in R$ , se $p$ divide a $b$ , daquela $p$ divide $a$ ou $p$ divide $b$ .^[2]

Elementos irreducíbeis

Artigo principal: elemento irreducíbel.

Os elementos primos non deben confundirse cos elementos irreducíbeis. Nun dominio de integridade, todo primo é irreducíbel^[3] mais o recíproco non é certo en xeral. No entanto, en dominios de factorización única, ^[4] ou máis xeralmente en dominios GCD, os primos e os irreducíbeis son iguais.

Exemplos

Os seguintes son exemplos de elementos primos en aneis:

Os enteiros $\pm2$ , $\pm3$ , $\pm5$ , $\pm7$ , $\pm11$ , ... no anel de enteiros $Z$
os números complexos $(1 + i)$ , $19$ e $(2 + 3 i)$ no anel de enteiros gaussianos $Z [i]$
os polinomios $x 2 - 2$ e $x 2 + 1$ en $Z [x]$ , o anel de polinomios sobre $Z$ .
2 no anel cociente $Z /6 Z$
$x 2 + (x 2 + x)$ é primo mais non irreducíbel no anel $Q [x]/(x 2 + x)$
No anel $Z 2$ de pares de enteiros, $(1, 0)$ é primo mais non irreducíbel (temos $(1, 0) 2 = (1, 0)$ ).
No anel dos enteiros alxébricos $\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}],$ o elemento $3$ é irreducíbel mais non primo (pois 3 divide $9=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}})$ e 3 non divide ningún factor do lado dereito da igualdade).

Notas

↑ Hungerford 1980
↑ "prime element". Planet Math.
↑ Hungerford 1980
↑ Hungerford 1980

Véxase tamén

Bibliografía

Section III.3 of Hungerford, Thomas W. (1980). Algebra. Graduate Texts in Mathematics 73 (Reprint of 1974 ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90518-1. MR 0600654.
Jacobson, Nathan (1989). Basic algebra. II (2 ed.). New York: W. H. Freeman and Company. pp. xviii+686. ISBN 0-7167-1933-9. MR 1009787.
Kaplansky, Irving (1970). Commutative rings. Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc. pp. x+180. MR 0254021.

Outros artigos

Ligazóns externas

[1] Hungerford 1980

[2] "prime element". Planet Math.

[3] Hungerford 1980

[4] Hungerford 1980

[1]

[2]

[3]

[4]