Derivación (matemática)

Para a derivación en cálculo, véxase Derivada.

Para a técnica de análise numérica, véxase Derivación numérica.

Derivación.

A derivación, matematicamente, é un concepto esencial para determinar os espazos tanxentes sobre variedades diferenciábeis, e as súas calidades, propiedades e consecuencias.

É unha peza fundamental, clave no desenvolvemento da teoría para a xeometría diferencial tal e como está estruturada actualmente.

Definición de derivación

Sexa $M$ unha variedade diferenciábel e $p\in M$, chamaremos derivación no punto $p$ a

$\forall \delta _{p}:{\mathcal {F}}(M)\longrightarrow \mathbb {R}$ aplicación $\mathbb {R} -$ lineal, é dicir:

$\forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)$, $\forall \lambda \in \mathbb {R}$,

• $\delta _{p}(g+f)=\delta _{p}(g)+\delta _{p}(f)$,

• $\delta _{p}(\lambda f)=\lambda \delta _{p}(f)$.

e tal que $\delta _{p}(f\cdot g)=\delta _{p}(f)g_{|p}+f_{|p}\delta _{p}(g)$, $\forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)$, é dicir, que cumpre a regra de Leibniz.

Observación

${\mathcal {F}}(M)$ é o conxunto de funcións diferenciábeis en $M$, e é un $\mathbb {R} -$ álxebra conmutativa, (é un $\mathbb {R} -$espazo vectorial).

$f_{|p}$ é equivalente a $f(p)$, é dicir, $f$ avaliado no punto $p$.

Exemplos de derivación

A derivada parcial

Sexa $M=\mathbb {R} ^{n}$ e $p\in M$, vexamos que a aplicación seguinte é derivación:

${\begin{matrix}{\cfrac {\partial \;\cdot }{\partial x_{i}}}_{|p}:&{\mathcal {F}}(M)&\longrightarrow &\mathbb {R} \;.\\&f&\mapsto &{\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}\end{matrix}}$

Demostración:

Vexamos primeiro que é $\mathbb {R} -$lineal, é dicir, que $\forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)$ e $\forall \lambda \in \mathbb {R}$ vemos que:

• ${\frac {\partial (f+g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}+{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}$,

• ${\frac {\partial (\lambda g)}{\partial x_{i}}}_{|p}=\lambda {\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}$.

Vexamos finalmente que é unha derivación:

${\frac {\partial (f\cdot g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}g_{|p}+f_{|p}{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}$.

Queda, así, demostrado que a derivada parcial é unha derivación.

A derivada direccional

Sexa $M=\mathbb {R} ^{n}$, $p\in M$ e $v\in M:\|v\|=1$, pódese ver, de igual modo que no exemplo anterior, que a aplicación seguinte é derivación:

${\begin{matrix}{\cfrac {\partial \cdot }{\partial v}}_{|p}:&{\mathcal {F}}(M)&\longrightarrow &\mathbb {R} \\&f&\mapsto &{\cfrac {\partial f}{\partial v}}_{|p}\end{matrix}}$.

Definicións

Plano tanxente.

Sexa $M$ unha variedade diferenciábel e $p\in M$, chamaremos espazo tanxente a $M$ en $p$ ao $\mathbb {R} -$espazo vectorial das derivacións de $M$ en $p$, notado por ${\mathcal {T}}_{p}M$, e os seus elementos chamaranse vectores tanxentes a $M$ en $p$.

Consecuencias

Propiedade da derivación dunha función localmente constante

Sexa $M$ unha variedade diferenciábel, $p\in M$, $\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M$ e $f\in {\mathcal {F}}(M)$ tal que $\exists U$ contorno aberto en $p$ onde $f(x)=\lambda$, $\forall x\in M$, entón temos que $\delta _{p}f=0$.

Demostración:

Por linealidade de $\delta _{p}$ temos

$\delta _{p}(f)=\delta _{p}(\lambda )=\delta _{p}(\lambda \cdot 1)=\lambda \delta _{p}(1)$,

aquí, aplicando a condición de derivación a $\delta _{p}(1)$ temos

$\delta _{p}(1)=\delta _{p}(1\cdot 1)=\delta _{p}(1)1+1\delta _{p}(1)=\delta _{p}(1)+\delta _{p}(1)$,

de simplificar este último, resulta $\delta _{p}(1)=0$, aplicándoo ao anterior resulta que $\delta _{p}(f)=0$.

Exemplo

Interésanos que a función localmente constante sexa infinitamente diferenciábel en todas as partes, é dicir, de clase ${\mathcal {C}}^{\infty }$:

• a función meseta $\rho$ asociada a $(p,V)$, onde $\rho (x)=1,$ $\forall x\in k\subset V,\;k$ compacto cuxo interior contén a $p$.

Propiedade da derivación do produto coa función meseta

Sexa $M$ unha variedade diferenciábel, $p\in M$, $\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M$, $f\in {\mathcal {F}}(M)$ e $\rho$ unha función meseta asociada a $(p,V)$, temos que:

$\delta _{p}(\rho \cdot f)=\delta _{p}(f)$.

Demostración:

Aplicando a regra de Leibniz temos que $\delta _{p}(\rho \cdot f)=\delta _{p}(\rho )f(p)+\rho (p)\delta _{p}(f)$, pola propiedade anterior temos que $\delta _{p}(\rho \cdot f)=0\cdot f(p)+1\cdot \delta _{p}(f)=\delta _{p}(f).$

Propiedade

Sexa $M$ unha variedade diferenciábel, $p\in M,\;\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M$ e $f,g\in {\mathcal {F}}(M)$ tal que $\exists V$ contorno aberto en $p$ onde $f_{|V}=g_{|V}$, entón temos que:

$\delta _{p}(f)=\delta _{p}(g)$.

Demostración:

Sexa $\rho$ unha función meseta asociada a $(p,V)$, temos así que $\rho \cdot f=\rho \cdot g$ en todo $M$ tamén $\rho \cdot f,\rho \cdot g\in {\mathcal {F}}(M)$ por tanto $\delta _{p}(\rho \cdot f)=\delta _{p}(\rho \cdot g)$, e pola propiedade anterior temos que $\delta _{p}(f)=\delta _{p}(g)$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferenciables i varietats de Riemann, Ed:UB. 2003.