Raio de Einstein

O raio de Einstein é o raio dun anel de Einstein, e é unha característica xeral do ángulo dunha lente gravitacional, as distancias típicas entre as imaxes producidas polas lentes gravitacionais son da orde do raio de Einstein.

Cálculo

Xeometría de lente gravitacional

Para o cálculo do raio de Einstein, imos supor que toda a masa $M$ da galaxia $L$ concéntrase no centro da galaxia.

Para un punto de masa a deformación pode ser calculada e é unha das probas clásicas da relatividade xeral. Para ángulos pequenos $\alpha$ a deformación total para un punto de masa $M$ é (ver métrica de Schwarzschild )

$\alpha ={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{b}}$

onde $b$ é o parámetro de impacto (a distancia de maior aproximación da luz emitida ao centro de masas da lente) $G$ é a constante gravitacional, $c$ é a velocidade da luz .

Tendo en conta que, para ángulos pequenos e co ángulo expresado en radiáns, o punto de maior aproximación b dende un ángulo $\theta$ para a lente $L$ sobre unha distancia $d_{L}$ dada por $b=\theta d_{L}$, podemos reformular o ángulo de flexión $\alpha$ como

$\alpha (\theta )={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{\theta }}{\frac {1}{d_{L}}}$ (eq. 1)

Se colocarmos $\theta _{S}$ como o ángulo en que se podería ver a fonte sen a lente (que xeralmente non é observable) e $\theta$ como o ángulo observado da imaxe da fonte con respecto á lente, entón pódese ver a partir da xeometría das lentes (con distancias no mesmo plano da fonte), que medir a distancia vertical do ángulo $\theta$ a unha distancia $d_{S}$ é o mesmo que a suma das dúas distancias verticais $\theta _{S}\;d_{S}$ máis $\alpha \;d_{LS}$. Isto dá como ecuación obxectivo,

$\theta \;d_{S}=\theta _{S}\;d_{S}+\alpha \;d_{LS}$,

que se pode reformular para dar

$\alpha (\theta )={\frac {d_{S}}{d_{LS}}}(\theta -\theta _{S})$ (eq. 2)

Por definición (Eq 1) igual a (Eq 2), e reformulando, obtense

$\theta -\theta _{S}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta }}\;{\frac {d_{LS}}{d_{S}d_{L}}}$

Para unha fonte directamente detrás do obxectivo, $\theta _{S}=0$ , a ecuación da lente a un punto de masa dá un valor característico para $\theta$ que se denomina distancia de Einstein, denotada $\theta _{E}$. Poñendo $\theta _{S}=0$ e resolvendo a $\theta$ resulta

$\theta _{E}=\left({\frac {4GM}{c^{2}}}\;{\frac {d_{LS}}{d_{L}d_{S}}}\right)^{1/2}$

O raio de Einstein para un punto de masa proporciona unha escala lineal conveniente para facer lentes variables adimensionais. En termos de raios de Einstein, a ecuación da lente a un punto de masa convértese en

$\theta =\theta _{S}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta }}$

Substituíndo as constantes resulta

$\theta _{E}=\left({\frac {M}{10^{11.09}M_{\bigodot }}}\right)^{1/2}\left({\frac {d_{L}d_{S}/d_{LS}}{Gpc}}\right)^{-1/2}arcsec$

Nesta última forma, a masa é expresada en masas solares é $M_{\bigodot }$ e as distancias en Giga parsec (GPC). O raio de Einstein máis destacado é unha lente normalmente a medio camiño entre a fonte e o observador.

Para un cúmulo estelar denso de masa $M_{c}\approx 10^{15}M_{\bigodot }$ a unha distancia de 1 Gigaparsec (1 GPC), este raio pode ser tan grande como 100 segundos de arco (chamado macrolente). Para un evento de microlente gravitacional (con masas da orde $\sim 1M_{\bigodot }$), buscado a distancias galácticas (digamos $d\sim 3kpc$ ), o raio de Einstein típico sería da orde mili-segundos de arco. En consecuencia, en imaxes separadas os eventos de microlente son imposibles de observar coas técnicas actuais.

O argumento anterior pode estenderse para as lentes que teñen unha masa distribuída, en vez de concentrada nun punto de masa, usando unha expresión distinta para a curva do ángulo $\alpha$. As posicións $\theta _{I}(\theta _{S})$ das imaxes poden ser calculadas. Para pequenas deflexions este mapeado "un a un" (foto a foto) está composto por distorsións das posicións observadas que son invertíveis. Isto chámase lente gravitacional débil. Para grandes deformacións pódese ter varias imaxes e un "mapa" non-inversível: iso chámase lente gravitacional forte. Teña en conta que, para que unha masa distribuída poida producir un anel de Einstein, debe ter simetria axial.