Partículas idénticas

As partículas idénticas son partículas que en principio non poden ser distinguidas entre si. Tanto as partículas elementais como partículas microscópicas compostas (como protóns ou átomos) son idénticas a outras partículas da súa mesma especie.

En física clásica, é posible distinguir partículas individuais nun sistema, ata se teñen as mesmas propiedades mecánicas. Ou ben se pode etiquetar ou "pintar" cada partícula para distinguila das demais, ou ben se pode seguir con detalle as súas traxectorias. Con todo, isto non é posible para partículas idénticas en mecánica cuántica. As partículas cuánticas están especificadas exactamente polos seus estados mecanocuánticos, de forma que non é posible asignarlles propiedades físicas ou etiquetas adicionais, máis aló dun nivel formal. Seguir a traxectoria de cada partícula tamén é imposible, xa que a súa posición e o seu momento non están definidas con exactitude simultaneamente en ningún momento.

Isto ten consecuencias importantes en mecánica estatística. Os cálculos en mecánica estatística baséanse en argumentos probabilísticos, que son sensibles a se os obxectos estudados son idénticos ou non. Así pois, as partículas idénticas tñen un comportamento estatístico "masivo" marcadamente distinto do das partículas clásicas (distinguibles). Isto desenvólvese abaixo.

Partículas idénticas e enerxía de intercambio

É posible clarexar estas afirmacións con algo de detalle técnico. A "identidade" das partículas está ligada á simetría dos estados mecanocuánticos tralo intercambio das etiquetas das partículas. Isto dá lugar a dous tipos de partículas que se comportan de diferente forma, chamadas fermións e bosóns. (tamén hai un terceiro tipo, anyones e a súa xeneralización, plektóns). O que segue derívase do formalismo desenvolvido no artigo formulación matemática da mecánica cuántica.

Se se considera un sistema con dúas partículas idénticas, pódese supoñer que o vector de estado dunha partícula é |ψ>, e o vector de estado da outra partícula é |ψ'>. Pódese representar o estado do sistema combinado, que é unha combinación non especificada dos estados dunha partícula, como:

$|\psi \psi ^{\prime }\rangle$.

Se as partículas son idénticas, entón (i) os seus vectores de estado ocupan espazos de Hilbert matematicamente idénticos, e (ii) |ψψ′> e |ψ′ ψ> teñen a mesma probabilidade de colapsar a calquera outro estado multipartícula |φ>:

$|\langle \phi |\psi \psi ^{\prime }\rangle |^{2}=|\langle \phi |\psi ^{\prime }\psi \rangle |^{2}$

Esta propiedade chámase simetría de intercambio. Un xeito de satisfacer esta simetría é que a permutación só induza unha fase:

$|\psi \psi ^{\prime }\rangle =e^{i\alpha }|\psi ^{\prime }\psi \rangle$

Non embargantes, dúas permutacións teñen que levarnos á identidade (pois as etiquetas volveron á súa posición inicial), logo e^2iα = 1. Entón, ou

$|\psi \psi ^{\prime }\rangle =+|\psi ^{\prime }\psi \rangle$

(estado totalmente simétrico), ou

$|\psi \psi ^{\prime }\rangle =-|\psi ^{\prime }\psi \rangle$

(estado totalmente antisimétrico).

Fermións, bosóns, anyóns e plektóns

Na discusión precedente, non se demostrou que os estados totalmente simétricos ou antisimétricos sexan a única forma posible de satisfacer a simetría de intercambio. Con todo, é un feito contrastado empiricamente que as partículas atopadas na natureza teñen estados cuánticos que son totalmente simétricos ou totalmente antisimétricos, con excepcións menores que se discuten máis adiante. Por exemplo, os fotóns sempre forman estados totalmente simétricos, e os electróns sempre forman estados totalmente antisimétricos.

As partículas que exhiben estados totalmente antisimétricos chámanse fermións. A antisimetría total dá lugar ó principio de exclusión de Pauli, que prohibe que fermións idénticos estean no mesmo estado cuántico, esta é a razón da táboa periódica, e da estabilidade da materia. O principio de exclusión de Pauli leva á estatística de Fermi-Dirac, que describe sistemas de moitos fermiones idénticos.

As partículas que amosan estados totalmente simétricos chámanse bosóns. A diferenza dos fermións, os bosóns idénticos poden compartir estados cuánticos. Por mor disto, os sistemas con moitos bosóns idénticos descríbense pola estatística de Bose-Einstein. Isto dá lugar a fenómenos variados como o láser, o condensado de Bose-Einstein e a superfluidez.

Hai polo menos unha excepción a este esquema: en certos sistemas bidimensionais suxeitos a un campo magnético intenso, pode haber unha simetría "mixta". Estas partículas exóticas, coñecidas como anyones, réxense pola estatística fraccional. Este fenómeno observouse en gases de electróns bidimensionais que forman a capa de investimento nos MOSFETs.

Hai unha estatística máis, para os plektóns.

O teorema de estatística de spin relaciona a simetría de intercambio de partículas idénticas co seu spin. Afirma que os bosóns teñen spin enteiro, e os fermións teñen spin semientero. Os anyóns teñen spin fraccionario.

Estatísticas

Máis arriba, comentouse que os bosóns, os fermións e as partículas distinguibles dan lugar a estatísticas diferentes. Isto pode amosarse cun modelo de dúas partículas:

Trátase dun sistema de dúas partículas, A e B, no que cada partícula poida estar en dous posibles estados, etiquetados |0> e |1>, da mesma enerxía. Se este sistema evoluciona no tempo, interaccionando cunha contorna "ruidosa" (intercambiando enerxía de forma aleatoria), os estados poboaranse de forma aleatoria (xa que os estados |0> e |1> son energeticamente equivalentes). Ao cabo de certo tempo, o sistema distribuirase probabilisticamente en todos os seus estados posibles.

Se A e B son partículas distinguibles, o sistema composto ten catro estados posibles (e equiprobables): |0>|0>, |1>|1>, |0>|1>, e |1>|0>. A probabilidade de obter as dúas partículas no estado |0> é 0,25; a probabilidade de obter as dúas no estado |1> é 0,25; e a probabilidade de obter unha no estado |0> e outra no estado |1> é 0,5.

Se A e B son bosones idénticos, o sistema composto só ten tres estados posibles: |0>|0>, |1>|1>, e 2-1/2(|0>|1> |1>|0>). Cando se realice a medida, a probabilidade de obter dúas partículas no estado |0> será agora 0,33; a de obter as dúas no estado |1> será 0,33; e a de obter unha en cada estado será 0,33.

Se A e B son fermións idénticos, só hai un estado dispoñible ao sistema composto: o estado totalmente antisimétrico 2-1/2(|0>|1> - |1>|0>). Ó facer a medida, inevitablemente atoparase que unha partícula está en estado |0> e a outra en estado |1>.

Os resultados resúmense na Táboa 1:

Táboa 1: Estadísticas de dúas partículas

Partículas	ambas 0	ambas 1	un 0 e un 1
Distinguibles	0.25	0.25	0.5
Bosóns	0.33	0.33	0.33
Fermións	0	0	1

Como se pode ver, ata un sistema de dúas partículas ten diferente comportamento estatístico entre bosóns, fermións e partículas distinguibles. Nos artigos estatística de Fermi-Dirac e estatística de Bose-Einstein esténdense estes principios a un número maior de partículas, con resultados cualitativamente semellantes.