En álxebra linear, unha matriz diagonal é unha matriz na que as entradas á parte da diagonal principal son todas cero; o termo refírese xeralmente a matrices cadradas. Os elementos da diagonal principal poden ser cero ou distintos de cero. Un exemplo de matriz diagonal 2×2 é , mentres que un exemplo dunha matriz diagonal 3×3 é . Unha matriz de identidade de calquera tamaño, ou calquera múltiplo dela é unha matriz diagonal chamada <i id="mwEQ">matriz escalar</i>, por exemplo, .
Como se indicou anteriormente, unha matriz diagonal é unha matriz na que todas as entradas fóra da diagonal son cero. É dicir, a matriz D = (di,j) con n columnas e n filas é diagonal se
Porén, as principais entradas diagonais non están restrinxidas.
A seguinte matriz é unha matriz diagonal cadrada:
Se as entradas son
números reais ou
complexos, entón tamén é unha matriz normal.
Unha matriz diagonal pódese construír a partir dun vector usando o operador :
Isto pódese escribir de forma máis compacta como
.
O operador pode escribirse como:
onde
representa o produto Hadamard e
é un vector constante cos elementos 1.
O operador inverso de matriz a vector é ás veces denotado polo nome idéntico onde o argumento é agora unha matriz e o resultado é un vector das súas entradas diagonais.
Mantén a seguinte propiedade:
Unha matriz diagonal con entradas diagonais iguais é unha matriz escalar; é dicir, un múltiplo escalar λ da matriz identidade I. O seu efecto sobre un vector é a multiplicación escalar por λ . Por exemplo, unha matriz escalar 3×3 ten a forma:
As matrices escalares son o centro da álxebra das matrices: é dicir, son precisamente as matrices que
conmutan con todas as demais matrices cadradas do mesmo tamaño. Pola contra, sobre un
corpo (como os números reais), unha matriz diagonal con todos os elementos diagonais distintos só conmuta coas matrices diagonais (o seu centralizador é o conxunto de matrices diagonais). Isto é porque se unha matriz diagonal
ten
entón dada unha matriz
con
o termo
dos produtos é:
e
e
(xa que se pode dividir por
), polo que non conmutan a menos que os termos fóra da diagonal sexan cero. Sibre aneis máis xenéricos, isto non se cumpre, porque non sempre se pode dividir. As matrices diagonais onde as entradas diagonais non son todas iguais ou todas distintas teñen centralizadores intermedios entre todo o espazo e só matrices diagonais.
[1]
Para un espazo vectorial abstracto V (en lugar do espazo vectorial concreto ), o análogo das matrices escalares son as transformacións escalares. Isto é así máis xenéricamente para un módulo M sobre un anel R, coa álxebra de endomorfismo End(M) (álxebra de operadores lineais en M) substituíndo a álxebra de matrices. Formalmente, a multiplicación escalar é un mapa linear, que induce un mapa (dende un escalar λ á súa transformación escalar correspondente, multiplicación por λ) que presenta End( M) como unha R - álxebra. Para os espazos vectoriais, as transformadas escalares son exactamente o centro da álxebra do endomorfismo e, do mesmo xeito, as transformadas escalares invertibles son o centro do grupo linear xeral GL(V). O primeiro é máis xeralmente verdadeiro como módulos libres , para o cal a álxebra de endomorfismo é isomorfa a unha álxebra matricial.
Dada unha matriz diagonal e un vector , o produto é:
Isto pódese expresar de forma máis compacta usando un vector en lugar dunha matriz diagonal,
, e tomando o produto de Hadamard dos vectores (produto de entrada), denotado
:
Isto é matematicamente equivalente, mais evita almacenar todos os ceros desta matriz dispersa.
Para a suma temos
e para a multiplicación,
A matriz diagonal
diag(a1, ..., an) é invertible se e só se as entradas
a1, ..., an son todas distintos de cero. Neste caso, temos
En particular, as matrices diagonais forman un subanel do anel de todas as matrices
.
Hai unha base especial, e1, ..., en, para a que a matriz toma a forma diagonal. Polo tanto, na ecuación definitoria , todos os coeficientes con i ≠ j son cero, ficando só un termo por suma. Os elementos diagonais superviventes, , coñécense como eigenvalues (ou valor propio) e desígnanse con na ecuación, que se reduce a . A ecuación resultante coñécese como ecuación de valor propio e úsase para derivar o polinomio característico e, ademais, os valores propios e os vectores propios .
Noutras palabras, os valores propios de diag(λ1, ..., λn) son λ1, ..., λn λ1, ..., λn con vectores propios asociados de e1, ..., en e1, ..., en .
- O determinante de diag(a1, ..., an) é o produto a1⋯an .
- A adxunta dunha matriz diagonal é diagonal.
- Cando todas as matrices son cadradas,
- Unha matriz é diagonal se e só se é triangular e normal.
- Unha matriz é diagonal se e só se é triangular superior e inferior.
- Unha matriz diagonal é simétrica.
- A matriz identidade In e a matriz cero son diagonais.
- Unha matriz 1×1 é sempre diagonal.
- O cadrado dunha matriz 2×2 con traza cero é sempre diagonal.
Unha matriz dada A é semellante a unha matriz diagonal (o que significa que hai unha matriz X tal que X−1AX é diagonal) se e só se ten n vectores propios linealmente independentes. Dise que tales matrices son diagonalizables.