En matemáticas, o factorial descendente, [1] defínese como o polinomio,
O
factorial ascendente (ás veces chamado
función de Pochhammer [1]) defínese como
En ambos os casos o valor é 1 cando
n = 0. Estes símbolos chámanse colectivamente
potencias factoriais.
[2]
O símbolo de Pochhammer, introducido por Leo August Pochhammer, é a notación (x)n, onde n é un número enteiro non negativo. Pode representar o factorial ascendente ou descendente, con diferentes artigos e autores usando convencións diferentes. O propio Pochhammer utilizou realmente (x)n con outro significado, a saber, para denotar o coeficiente binomial [3]
Neste artigo usaremos dous tipos de símbolos, o símbolo (x)n úsase para representar o factorial descendente e o símbolo x(n) para o factorial ascendente. Estas convencións úsanse en combinatoria, [4] aínda que as notacións de subliñado e sobreliñado de Knuth e son cada vez máis populares.
[5]
Son moi usados na función hiperxeométrica.
Exemplos e interpretación combinatoria[editar | editar a fonte]
Os primeiros factoriais descendentes son os seguintes:
Os primeiros factoriais ascendentes son os seguintes:
Os coeficientes que aparecen nas expansións son os
números de Stirling do primeiro tipo.
Os factoriais ascendentes e descendentes están relacionados entre si de xeito simple:
Os factoriais descendentes e ascendentes de números enteiros están directamente relacionados co
factorial ordinario:
Os factoriais descendentes e crecentes pódense usar para expresar un
coeficiente binomial:
O factorial descendente pódese estender a valores
reais de
x usando a
función gamma sempre que
x e
x + n sexan números reais que non son enteiros negativos:
e tamén pode o factorial ascendente:
O factorial ascendente tamén está na definición da
función hiperxeométrica: A función hiperxeométrica defínese para
|z| < 1 pola
serie de potenciassempre que
c ≠ 0, −1, −2, ... . Teña en conta, porén, que a literatura sobre funcións hiperxeométricas normalmente usa a notación
(a)n para factoriais ascendentes.
Unha notación alternativa para o factorial ascendente
e para o factorial descendente
- ↑ 1,0 1,1
Steffensen, J.F. (17 March 2006). Interpolation (2nd ed.). Dover Publications. p. 8. ISBN 0-486-45009-0. — A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing.
- ↑
Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1988). Concrete Mathematics. Reading, MA: Addison-Wesley. pp. 47, 48, 52. ISBN 0-201-14236-8.
- ↑
Knuth, D.E. (1992). Two notes on notation. American Mathematical Monthly 99. pp. 403–422. JSTOR 2325085. arXiv:math/9205211. doi:10.2307/2325085. The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.
- ↑
Olver, P.J. (1999). Classical Invariant Theory. Cambridge University Press. p. 101. ISBN 0-521-55821-2. MR 1694364.
- ↑
Harris; Hirst; Mossinghoff (2008). Combinatorics and Graph Theory. Springer. ch. 2. ISBN 978-0-387-79710-6.