Disquisitiones Arithmeticae

Páxina de título da primeira edición

Disquisitiones Arithmeticae ("Investigacións aritméticas" en latín) é un libro de texto sobre teoría de números escrito en latín por Carl Friedrich Gauss en 1798, cando Gauss tiña 21 anos, e publicado por primeira vez en 1801. Neste libro Gauss reuniu os resultados da teoría dos números obtidos polos matemáticos Pierre de Fermat, Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange e Adrien-Marie Legendre, engadindo a eles varios resultados propios.

Ámbito

Disquisitiones aborda a teoría dos números e partes da área das matemáticas actualmente chamada teoría alxébrica de números. Porén, Gauss non recoñeceu explicitamente o concepto de grupo, fundamental na álxebra abstracta, e polo tanto non usou este termo, referíndose a el como aritmética superior. No seu prefacio describe o esquema do libro como:

As cuestións que investigará este volume pertencen a esa parte das matemáticas que se ocupa dos números enteiros.

Contido

O libro está dividido en sete seccións:

I. Números congruentes en xeral

II. Congruencias de primeiro grao

III. Residuos de potencias

IV. Congruencias de segundo grao

V. Formas e ecuacións de segundo grao indeterminadas

VI. Aplicacións diversas das discusións anteriores

VII. Ecuacións que definen seccións dun círculo.

As seccións I a III son esencialmente unha revisión de resultados anteriores, incluíndo a proba de primalidade de Fermat, o teorema de Wilson e a existencia de raíces primitivas. Aínda que poucos resultados destas primeiras seccións son orixinais, Gauss foi o primeiro matemático en reunir este material e abordalo de forma sistemática. Gauss tamén imaxinaba a importancia da propiedade de unicidade da factorización (asegurada polo teorema fundamental da aritmética, estudado por primeira vez por Euclides), que reformula e probou utilizando ferramentas matemáticas modernas.

A partir da sección IV, a maior parte da obra é orixinal. A sección IV desenvolve unha proba da lei da reciprocidade cuadrática; A sección V, que representa máis da metade do libro, realiza unha análise exhaustiva das formas cadráticas binarias e ternarias. A sección VI inclúe dúas probas de primalidade diferentes. Finalmente, o apartado VII é unha análise dos polinomios ciclotómicos, concluíndo coa exposición do criterio que determina que polígonos son construíbles, é dicir, cales se poden construír con compás e regra sen marcar.

Gauss comezou a escribir unha oitava sección sobre congruencias de alto nivel, mais morreu antes de rematala, e esta parte publicouse por separado despois da súa morte.

Véxase tamén

Bibliografía

• Carl Friedrich Gauss, tr. Arthur A. Clarke: Disquisitiones Arithmeticae, Yale University Press, 1965, ISBN 0-300-09473-6
• Disquisitiones Arithmeticae (texto orixinal en latín)