Ver o código fonte de "Raíz (matemáticas)"

{{1000 artigos icona título|materia=Matemáticas}}
{{Outros homónimos|Raíz (homónimos)}}
En [[Matemáticas]], a '''raíz enésima''' dun [[número]] ''x'' é un número ''r'' que elevado á enésima potencia é igual a ''x''
:<math>r^n  =  x,</math>
onde ''n'' é o ''índice'' da raíz. Unha raíz de índice 2 chámase ''[[raíz cadrada]]'' e a de índice 3, ''[[raíz cúbica]]''. As raíces de índice superior chámanse empregando o ordinal, como ''raíz cuarta'' ou ''raíz quinta''.

Por exemplo:
* 2 é a raíz cadrada de 4, porque 2<sup>2</sup> = 4.
* −2 tamén é raíz cadrada de 4, porque (−2)<sup>2</sup> = 4.

Na [[análise matemática]], as raíces son tratadas como un caso particular de potenciación, onde o exponente é unha [[fracción (matemáticas)|fracción]]:
:<math>\sqrt[n]{x} \,=\, x^{1/n}</math>

As raíces adoitan ser escritas empregando o símbolo <math>\sqrt{\,\,}</math>, con <math>\sqrt{x}\!\,</math> indicando unha raíz cadrada, <math>\sqrt[3]{x}\!\,</math> unha raíz cúbica, <math>\sqrt[4]{x}</math> unha raíz cuarta e así sucesivamente. Na expresión <math>\sqrt[n]{x}</math>, ''n'' é o ''índice'' e ''x'' é o ''radicando''. Calquera expresión que conteña unha raíz é chamada ''expresión radical''.

== Historia ==
A orixe do [[símbolos matemáticos|símbolo]] de raíz √ é dubidosa. Moitos expertos, incluíndo [[Leonhard Euler]],<ref>{{Cita libro|título=''Institutiones calculi differentialis''|url=https://archive.org/details/bub_gb_sYE_AAAAcAAJ|apelidos=Euler|nome=Leonhard|ano=1755 }}</ref> cren que procede da letra "r", inicial da palabra latina "radix", que significa "raíz". O símbolo aparece impreso por vez primeira, sen o trazo horizontal, en 1525 na obra ''Die Coss'' do matemático alemán [[Christoff Rudolff]].

== Propiedades ==
[[Ficheiro:NegativeOne4Root.svg|miniatura|As catro raíces cuartas de -1, ningunha delas real]]
[[Ficheiro:NegativeOne3Root.svg|miniatura|As tres raíces cúbicas de −1,<br/> unha delas real negativa]]
Todos os números reais positivos teñen raíz real enésima. Se o índice da raíz é impar esta raíz é un único número positivo. Se o índice é par a raíz é dobre (un número e o seu oposto).

Os números reais negativos non teñen raíz real se o índice da raíz é par e teñen como raíz un único número real negativo se o índice da raíz é impar.

A raíz dun número real que non sexa potencia perfecta é un [[número irracional]].

Un [[número complexo]] distinto de 0 ten ''n'' raíces distintas de índice ''n''.

Os [[número real|números reais]] cumpren: 
:<math>\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \,,</math>

:<math>\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \,.</math>

:<math>\sqrt[n]{a^m} = \left(a^m\right)^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{m}{n}}.</math>

Porén, pode haber problemas no caso dos [[número complexo|números complexos]]. Por exemplo:

:<math>\sqrt{-1}\times\sqrt{-1} = -1</math>
pero
:<math>\sqrt{-1 \times -1} = 1</math>

se tomamos un certo valor da raíz.

== Simplificación de expresións radicais ==
Unha expresión radical está simplificada se<ref>{{Cita libro|apelidos=McKeague|nome=Charles P.|título=Elementary algebra|páxina=470|ano=2011|url=http://books.google.com/books?id=etTbP0rItQ4C&printsec=frontcover&dq=editions:q0hGn6PkOxsC&hl=sv&ei=52CsTqv9Go7sOZ_tldAP&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CDEQ6AEwAQ#v=onepage&q&f=false}}</ref>
* Ningún factor do radicando pode ser escrito como potencia de expoñente maior có índice da raíz.
* Non hai fraccións baixo o símbolo de raíz.
* Non hai expresións radicais no denominador.

Por exemplo, para simplificar a expresión <math>\sqrt{\tfrac{32}{5}}</math> podemos buscar un cadrado perfecto dentro da raíz e sacalo fóra: 
:<math>\sqrt{\tfrac{32}{5}} = \sqrt{\tfrac{16 \cdot 2}{5}} = 4 \sqrt{\tfrac{2}{5}}</math>
Logo, ao haber unha fracción no radical cambiamos como segue: 
:<math>4 \sqrt{\tfrac{2}{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}</math>
Finalmente quitamos a raíz do denominador: 
:<math>\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{10}}{5}</math>

Cando no denominador hai unha suma de raíces pódese atopar un factor polo que multiplicar numerador e denominador para simplificar a expresión, o que se denomina [[racionalización|racionalizar]]:

:<math>\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})} = \frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a+b} \,.</math>

== Serie infinita ==
A raíz pode ser representada coa [[serie (matemáticas)|serie]]:

:<math>
(1+x)^{s/t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{n-1} (s-kt)}{n!t^n}x^n
</math>

con <math>|x|<1</math>.

== Función raíz ==
Sexa n un [[número natural]] non nulo. A aplicación x → x<sup>n</sup> define unha [[función]], de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math> se n é impar, e de <math>\mathbb{R}^+ = [0,\infty]</math> se <math>n</math> é par. Chámase ''raíz enésima'', ou ''raíz de índice<ref>{{cita libro|apelidos=Masa Vázquez|nome=Xosé M.|apelidos2=Fortes López|nome2=Belén|título=Vocabulario de Matemáticas|ano=1995|editor=Servicio de Normalización Lingüística da Universidade de Santiago de Compostela|localización=Santiago de Compostela|isbn=84-8121-369-1}}</ref> n'' á súa [[función inversa]], e indícase:
<math>y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}</math>.

No gráfico seguinte, están debuxadas as gráficas das funcións definidas por algunhas raíces, así como das súas funcións recíprocas, no intervalo [0;1]. A recta de ecuación y = x é o eixe de simetría entre cada curva e a curva da súa inversa.

[[Ficheiro:función_raíz_1.png]]

Cambiando de escala:

[[Ficheiro:función_raíz_2.png]]

== Notas ==
{{Listaref}}

== Véxase tamén ==
=== Outros artigos ===
* [[Raíz cadrada]]
* [[Lista de funcións matemáticas]]

[[Categoría:Aritmética]]