Ver o código fonte de "Primorial"

En [[matemáticas]], e máis particularmente en [[teoría de números]], '''o primorial''', denotado por "#", é unha [[función]] de [[Número natural|números naturais]] a números naturais semellante á función [[factorial]], mais en lugar de multiplicar sucesivamente números enteiros positivos, a función só multiplica [[Número primo|os números primos]] .

O nome "primorial", acuñado por [[Harvey Dubner]], fai unha analoxía cos ''primos'' semellante á forma en que o nome "factorial" se relaciona cos ''factores''.

== Definición con números primos ==
[[Ficheiro:Primorial_pn_plot.png|miniatura|300x300px|{{Math|''p<sub>n</sub>''#}} en función de {{Math|''n''}}, representado logarítmicamente.]]
Para o {{Mvar|n}}-ésimo número primo {{Mvar|p<sub>n</sub>}}, o primorial {{Math|''p<sub>n</sub>''#}} defínese como o produto dos {{Mvar|n}} primeiros primos:  <ref name="OEIS A002110">{{OEIS|id=A002110}}</ref>

: <math>p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k</math>,

onde {{Mvar|p<sub>k</sub>}} é o {{Mvar|k}}-ésimo número primo. Por exemplo, {{Math|''p''<sub>5</sub>#}} significa o produto dos 5 primeiros primos:

: <math>p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310.</math>

Os cinco primeiros primoriais {{Math|''p<sub>n</sub>''#}} son:

: [[Dous|2]], [[Seis|6]], 30, 210, 2310 {{OEIS|id=A002110}}.

A secuencia tamén inclúe {{Math|''p''<sub>0</sub># {{=}} 1}} como produto baleiro . Asintoticamente, os primoriais {{Math|''p<sub>n</sub>''#}} medran segundo:

: <math>p_n\# = e^{(1 + o(1)) n \log n},</math>

onde {{Math|''o''( )}} é a [[Notación O grande|notación O pequeno]].<ref name="OEIS A002110"></ref>

== Definición con números naturais ==
[[Ficheiro:Primorial_n_plot.png|miniatura|300x300px|{{Math|''n''!}} (amarelo) en función de {{Math|''n''}}, en comparación con {{Math|''n''#}} (vermello), ambos os dous representados logarítmicamente.]]
En xeral, para un enteiro positivo {{Mvar|n}}, o seu primorial, {{Math|''n#''}}, é o produto dos primos que non son maiores que {{Mvar|n}}; é dicir,  <ref name="OEIS A034386">{{OEIS|id=A034386}}</ref>

  <math>n\# = \prod_{p \le n\atop p \text{ prime}} p = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\# </math>,

onde {{Math|''π''(''n'')}} é a [[función de contaxe de números primos]] {{OEIS|id=A000720}}, que dá o número de primos ≤ {{Mvar|n}}.

Por exemplo, 12# representa o produto deses números primos ≤ 12:
: <math>12\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310.</math>

Por tanto coas dúas nomenclaturas temos:
: <math>12\# = p_{\pi(12)}\# = p_5\# = 2310.</math>

== Datos relacionados ==
* Os primoriais están relacionados coa primeira [[función de Chebyshev]], escrita ϑ (n)  segundo:
: <math>\ln (n\#) = \vartheta(n).</math> 

* Dado que <math>\vartheta(n)</math> achégase asintóticamente a {{Math|''n''}} para valores grandes de {{Math|''n''}}, os primoriais crecen segundo:
: <math>n\# = e^{(1+o(1))n}.</math>

* Para o Primorial, coñécese a seguinte aproximación:<ref>G. H. Hardy, E. M. Wright: ''An Introduction to the Theory of Numbers''. </ref>

: <math>n\#\leq 4^n</math>.

 A maiores: <math>\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n\#} = e </math>. Para <math>n<10^{11}</math>, os valores son máis pequenos que [[Número e|{{Mvar|e}}]], <ref>L. Schoenfeld: ''Sharper bounds for the Chebyshev functions <math>\theta(x)</math> and <math>\psi(x)</math>''. </ref> pero para {{Mvar|n}} maior, os valores da función superan o límite {{Mvar|e}} e oscilan infinitamente arredor de {{Mvar|e}} máis adiante.

* Sexa <math>p_k</math> o {{Mvar|k}}-ésimo primo, entón <math>p_k\#</math> ten exactamente <math>2^k</math> divisores. Por exemplo, <math>2\#</math> ten 2 divisores, <math>3\#</math> ten 4 divisores, <math>5\#</math> ten 8 divisores e <math>97\#</math> xa ten <math>2^{25}</math> divisores, xa que 97 é o 25º primo.
* A suma dos valores recíprocos do primorial [[Serie converxente|converxe]] cara a unha constante

: <math>\sum_{p\,\in \,\mathbb{P}} {1 \over p\#} = {1 \over 2} + {1 \over 6} + {1 \over 30} + \ldots = 0{.}7052301717918\ldots</math>
: A [[expansión de Engel]] deste número dá como resultado a secuencia dos números primos (Ver {{OEIS|id=A064648}})
== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
* {{cita publicación periódica | last1 = Dubner | first1 = Harvey | year = 1987 | title = Factorial and primorial primes | journal = [[Journal of Recreational Mathematics|J. Recr. Math.]] | volume = 19 | pages = 197–203 }}
=== Outros artigos ===
* [[Factorial]].

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de números]]