Ver o código fonte de "Complementario (conxuntos)"

{{Short description|conxunto que inclúe a todos os elementos non incluídos nun conxunto A}}
{{multiple image
| align = right
| image1 = Venn01.svg
| width1 = 150
| alt1 = A circle filled with red inside a square. The area outside the circle is unfilled. The borders of both the circle and the square are black.
| caption1 = Se {{mvar|A}} é a área coloreada en vermello nesta imaxe…
| image2 = Venn10.svg
| width2 = 150
| caption2 = … daquela o complementario de {{mvar|A}} é todo o resto.
}}
Na [[teoría de conxuntos]], o '''complementario ou complemento''' dun [[conxunto]] {{Mvar|A}}, denotado usualamente por <math>A^\complement</math> (ou {{Math|''A''′}}),<ref>{{Cita web|title=complement|url=http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U1/S6/Complement3.htm|páxinaweb=web.mnstate.edu}}</ref> é o conxunto de elementos que non están en {{Mvar|A}}.<ref name=":1">{{Cita web|title=complement set|url=https://www.mathsisfun.com/definitions/complement-set-.html|páxinaweb=www.mathsisfun.com}}</ref>

Cando todos os elementos do [[Universo (teoría de conxuntos)|universo]], é dicir, todos os elementos en consideración, considéranse membros dun conxunto dado {{Mvar|U}}, o '''complemento absoluto''' de {{Mvar|A}} é o conxunto de elementos en {{Mvar|U}} que non están en {{Mvar|A}}.

O '''complemento relativo''' de {{Mvar|A}} en relación a un conxunto {{Mvar|B}}, tamén denominado '''diferenza de conxuntos''' de {{Mvar|B}} e {{Mvar|A}}, escrito <math>B \setminus A,</math> é o conxunto de elementos en {{Mvar|B}} que non están en {{Mvar|A}}.

[[Ficheiro:Venn10.svg|150px|thumb|O '''complemento absoluto''' do disco branco é a zona vermella]]
== Complemento absoluto ==
Se {{Mvar|A}} é un conxunto, entón o '''complemento absoluto''' de {{Mvar|A}} (ou simplemente o '''complemento de {{Mvar|A}}''') é o conxunto de elementos que non están en {{Mvar|A}} (dentro dun conxunto maior que está implicitamente definido): <ref>O conxunto no que se considera o complemento menciónase  implícitamente nun complemento absoluto, e explicitamente nun complemento relativo.</ref><math display="block">A^\complement = U \setminus A = \{ x \in U : x \notin A \}.</math>Adoita denotarse por <math>A^\complement</math>. Outras notacións son <math>\overline A, A',</math> <ref name=":1"></ref> <math>\complement_U A, \text{ and } \complement A.</math> <ref name="Bou">{{Cita Harvard sen parénteses|Bourbaki|1970|p=E II.6}}.</ref>

=== Exemplos ===

* Supoña que o universo é o conxunto de [[Número enteiro|números enteiros]]. Se {{Mvar|A}} é o conxunto de números impares, entón o complemento de {{Mvar|A}} é o conxunto de números pares. Se {{Mvar|B}} é o conxunto de [[Múltiplo (gramática)|múltiplos]] de 3, entón o complemento de {{Mvar|B}} é o conxunto de números [[Aritmética modular|congruentes]] con 1 ou 2 módulo 3 (ou, en termos máis sinxelos, os enteiros que non son múltiplos de 3).
* Supoña que o universo é a baralla de tute de 40 cartas. Se o conxunto {{Mvar|A}} é o pau dos ouros, entón o complemento de {{Mvar|A}} é a [[Unión (conxuntos)|unión]] dos paus de espadas, bastos e copas.
* Cando o universo é o universo de conxuntos descrito na [[teoría de conxuntos]], o complemento absoluto dun conxunto xeralmente non é un conxunto, senón unha [[clase (teoría de conxuntos)|clase propia]]. Para obter máis información, consulte [[Set universal|conxunto universal]].

=== Propiedades ===
Sexan {{Mvar|A}} e {{Mvar|B}} dous conxuntos nun universo {{Mvar|U}}. As seguintes identidades mostran propiedades importantes dos complementos absolutos:

[[Leis de De Morgan]]: <ref name="Halmos-1960">{{Cita Harvard sen parénteses|Halmos|1960|p=17}}.</ref>

* <math>\left(A \cup B \right)^\complement = A^\complement \cap B^\complement.</math>
* <math>\left(A \cap B \right)^\complement = A^\complement \cup B^\complement.</math>

Leis do complementario: <ref name="Halmos-1960">{{Cita Harvard sen parénteses|Halmos|1960|p=17}}.</ref>

* <math>A \cup A^\complement = U.</math>
* <math>A \cap A^\complement = \empty .</math>
* <math>\empty^\complement = U.</math>
* <math> U^\complement = \empty.</math>
* <math>\text{Se }A\subseteq B\text{, entón }B^\complement \subseteq A^\complement.</math>
*: (isto despréndese da equivalencia dun condicional co seu [[contrapositivo]]).

Lei da [[Involución (matemáticas)|involución]] ou do dobre complemento:

* <math>\left(A^\complement\right)^\complement = A.</math>

Relacións entre complementos relativos e absolutos:

* <math>A \setminus B = A \cap B^\complement.</math>
* <math>(A \setminus B)^\complement = A^\complement \cup B = A^\complement \cup (B \cap A).</math>

Relación coa diferenza:

* <math> A^\complement \setminus B^\complement = B \setminus A. </math>

As dúas primeiras leis do complementario anteriores mostran que se {{Math|''A''}} é un [[subconxunto|subconxunto propio]] non baleiro de {{Math|''U''}}, entón {{Math|{''A'', ''A''<sup>∁</sup>}}} é unha [[Partición dun conxunto|partición]] de {{Math|''U''}}.

== Complemento relativo ==
[[Ficheiro:Relative compliment.svg|thumb|230x230px|O '''complemento relativo''' de {{math|''A''}} en {{math|''B''}}: <math>B \cap A^\complement = B \setminus A</math>]]
=== Definición ===
Se {{Math|''A''}} e {{Math|''B''}} son conxuntos, entón o '''complemento relativo''' de {{Math|''A''}} en {{Math|''B''}} (expresado  <math>B \setminus A</math> ), <ref name="Halmos-1960">{{Cita Harvard sen parénteses|Halmos|1960|p=17}}.</ref> tamén denominado '''diferenza de conxuntos''' de {{Math|''B''}} e {{Math|''A''}} (por iso ás veces tamén se expresa como <math>B - A,</math>), <ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Devlin|1979|p=6}}.</ref> é o conxunto de elementos que están en {{Math|''B''}} pero non están en {{Math|''A''}}.

Formalmente:<math display="block">B \setminus A = \{ x\in B : x \notin A \}.</math>

=== Exemplos ===

* <math>\{ 1, 2, 3\} \setminus \{ 2,3,4\} = \{ 1 \}.</math>
* <math>\{ 2, 3, 4 \} \setminus \{ 1,2,3 \} = \{ 4 \} .</math>
* Se <math>\mathbb{R}</math> é o conxunto dos [[Número real|números reais]] e <math>\mathbb{Q}</math> é o conxunto de [[Número racional|números racionais]], entón <math>\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}</math> é o conxunto de [[Número irracional|números irracionais]].

=== Propiedades ===
Sexan {{Math|''A''}}, {{Math|''B''}} e {{Math|''C''}} tres conxuntos. As seguintes [[Identidade (matemáticas)|identidades]] mostran propiedades importantes dos complementos relativos:

:* <math>C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B).</math>
:* <math>C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B).</math>
:* <math>C \setminus (B \setminus A) = (C \cap A) \cup (C \setminus B),</math>
:*: co caso especial importante <math>C \setminus (C \setminus A) = (C \cap A)</math> demostrando que a intersección pode expresarse usando só a operación do complemento relativo.
:* <math>(B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A).</math>
:* <math>(B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C).</math>
:* <math>A \setminus A = \emptyset.</math>
:* <math>\empty \setminus A = \empty.</math>
:* <math>A \setminus \empty = A.</math>
:* <math>A \setminus U = \empty.</math>
:* Se <math>A\subset B</math>, entón <math>C\setminus A\supset C\setminus B</math> .
:* <math>A \supseteq B \setminus C</math> é equivalente a <math>C \supseteq B \setminus A</math> .

== Relación complementaria ==
Unha relación binaria <math>R</math> defínese como un subconxunto dun [[Produto cartesiano|produto de conxuntos]] <math>X \times Y.</math> A '''relación complementaria''' <math>\bar{R}</math> é o complemento do conxunto de <math>R</math> en <math>X \times Y.</math> O complemento de relación <math>R</math> pódese escribir<math display="block">\bar{R} \ = \ (X \times Y) \setminus R.</math>Xunto coa [[Composición das relacións|composición de relacións]] e [[relación inversa|as relacións inversas]], as relacións complementarias e a [[álxebra de conxuntos]] son as [[Operación (matemáticas)|operacións]] elementais do [[cálculo de relacións]].

== Notas ==
{{reflist|30em}} 
{{Reflist|group=note}}
== Véxase tamén ==
{{Commonscat}}
=== Bibliografía ===
* {{cita libro
 | last = Bourbaki
 | first = N.
 | author-link = Nicolas Bourbaki
 | title = Théorie des ensembles
 | publisher = Hermann
 | place = Paris
 | year = 1970
 | isbn = 978-3-540-34034-8
 | language = fr
}}
* {{cita libro
 | last = Devlin
 | first = Keith J.
 | author-link = Keith Devlin
 | title = Fundamentals of contemporary set theory
 | url = https://archive.org/details/fundamentalsofco0000devl
 | series = Universitext
 | publisher = [[Springer-Verlag|Springer]]
 | year = 1979
 | isbn = 0-387-90441-7
 | zbl = 0407.04003
}}
* {{cita libro
 | url = https://archive.org/details/naivesettheory0000halm
 | isbn = 9780442030643
 | zbl = 0087.04403
|título=Naive set theory|apelidos=Halmos|nome=Paul R.|editorial=D. Van Nostrand Company|ano=1960|lugar=Princeton (NJ), Nova York, Londres, Toronto|lingua=en}}
=== Outros artigos ===
* [[Unión (conxuntos)|Unión]].
* [[Intersección (conxuntos)|Intersección ]].
* [[Álxebra de conxuntos]].

=== Ligazóns externas ===
* {{MathWorld |title=Complement |id=Complement }}
* {{MathWorld |title=Complement Set |id=ComplementSet }}


{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de conxuntos]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]