Teorema de Weierstrass

Unha función continua $f(x)$ no intervalo pechado $[a,b]$ que mostra o máximo absoluto (vermello) e o mínimo absoluto (azul).

En cálculo, o teorema de Weierstrass ou teorema do valor extremo indica que se unha función $f$ é continua no intervalo pechado e limitado $[a,b]$, entón $f$ debe acadar un máximo e un mínimo, cada un deles polo menos unha vez. É dicir, existen números $c$ e $d$ en $[a,b]$ tal que:

$$f(c)\geq f(x)\geq f(d)\quad \forall x\in [a,b]$$

O teorema do valor extremo úsase para demostrar o teorema de Rolle. Nunha formulación debida a Karl Weierstrass, este teorema afirma que unha función continua desde un espazo compacto non baleiro ata un subconxunto dos números reais alcanza un máximo e un mínimo.

Comparación co teorema da limitación

O teorema de Weierstrass é máis específico que o teorema da limitación, co que está relacionado, este último só indica que unha función continua $f$ no intervalo pechado $[a,b]$ está limitada nese intervalo; é dicir, existen números reais $m$ e $M$ tal que:

$$m\leq f(x)\leq M\quad \forall x\in [a,b].$$

Isto non di que $M$ e $m$ sexan necesariamente os valores máximos e mínimos de $f$ no intervalo $[a,b],$ que é o que estipula o teorema de Weierstrass.

Historia

O teorema do valor extremo foi probado orixinalmente por Bernard Bolzano na década de 1830 nun traballo Teoría da función, pero o traballo permaneceu inédito ata 1930. A demostración de Bolzano consistiu en mostrar que unha función continua nun intervalo pechado estaba acotada, e despois mostrando que a función alcanzou un valor máximo e un valor mínimo. Ambas as dúas probas implicaron o que hoxe se coñece como Teorema de Bolzano–Weierstrass.

Funcións ás que non se aplica o teorema

Os seguintes exemplos mostran por que o dominio da función debe estar pechado e limitado para que se aplique o teorema. Cada un dos exemplos non alcanza un máximo no intervalo indicado.

1. $f(x)=x$ definido sobre $[0,\infty )$ non está limitado superiormente.
2. $f(x)={\frac {x}{1+x}}$ definido sobre $[0,\infty )$ está limitado mais non alcanza o seu límite superior mínimo $1$.
3. $f(x)={\frac {1}{x}}$ definido sobre $(0,1]$ non está limitado superiormente.
4. $f(x)=1-x$ definido sobre $(0,1]$ está limitado mais nunca alcanza o seu límite superior mínimo $1$.

Definir $f(0)=0$ nos dous últimos exemplos mostra que ambos os teoremas requiren continuidade en $[a,b]$.