Número triangular
Un número triangular conta os obxectos colocados en forma de triángulo equilátero. O n-ésimo número triangular é o número de puntos na disposición triangular con n puntos a cada lado (ver figura), e é igual á suma dos n números naturais de 1 a n. A secuencia de números triangulares, comezando co número triangular 0, é
Fórmula[editar | editar a fonte]
Os números triangulares veñen dados polas seguintes fórmulas explícitas:
O feito de que o o número triangular é igual pódese ilustrar mediante unha proba visual.[1] O exemplo :
O número triangular Tn resolve o problema do apretón de mans de contar o número de apretóns de mans se cada persoa nunha habitación con n + 1 persoas dá a man unha vez a cada persoa. Noutras palabras, a solución ao problema do apretón de mans de n persoas é Tn−1.[2] A función T é o análogo aditivo da función factorial, que son os produtos de números enteiros de 1 a n.
Relacións con outros números figurados[editar | editar a fonte]
Os números triangulares teñen unha gran variedade de relacións con outros números figurados (números que forman figuras).
Simplemente, a suma de dous números triangulares consecutivos é un número cadrado. Alxebraicamente,
Todos os números triangulares cadrados atópanse a partir da recursividade
Ademais, o cadrado do n-ésimo número triangular é o mesmo que a suma dos cubos dos enteiros de 1 a n. Isto tamén se pode expresar como
Outras propiedades[editar | editar a fonte]
Os números triangulares corresponden ao caso de primeiro grao da fórmula de Faulhaber.
Os números triangulares alternados (1, 6, 15, 28, ...) tamén son números hexagonais.
Todo número perfecto par é triangular (así como hexagonal), dado pola fórmula
Por exemplo, o terceiro número triangular é (3 × 2 =) 6, o sétimo é (7 × 4 =) 28, o 31 é (31 × 16 =) 496 e o 127 é (127 × 64 =) 8128.
A suma dos recíprocos de todos os números triangulares distintos de cero é
O maior número triangular da forma 2k − 1 é 4095 (ver a ecuación de Ramanujan–Nagell ).
Wacław Franciszek Sierpiński formulou a pregunta sobre a existencia de catro números triangulares distintos en progresión xeométrica. Foi conxecturado polo matemático polaco Kazimierz Szymiczek como imposible e máis tarde foi probado por Fang e Chen en 2007.[3] [4]
As fórmulas que implican expresar un número enteiro como suma de números triangulares están conectadas coas funcións theta, en particular á función theta de Ramanujan.[5][6]
Aplicacións[editar | editar a fonte]
Unha rede totalmente conectada de n dispositivos informáticos require a presenza de Tn − 1 cabos ou outras conexións.
Nun formato de torneo que utiliza unha fase de grupos round-robin, o número de partidos que hai que xogar entre n equipos é igual ao número triangular Tn − 1. Por exemplo, unha fase de grupos con 4 equipos require 6 partidos, e unha fase de grupos con 8 equipos require 28 partidos.
Usado tamén no problema bovino de Arquímedes.
Raíces triangulares e probas de números triangulares[editar | editar a fonte]
Por analoxía coa raíz cadrada de x, pódese definir a raíz triangular (positiva) de x como o número n tal que Tn = x:
Notas[editar | editar a fonte]
- ↑ "Triangular Number Sequence". Math Is Fun.
- ↑ "The Handshake Problem | National Association of Math Circles". MathCircles.org. Arquivado dende o orixinal o 10 March 2016. Consultado o 12 January 2022.
- ↑ Chen, Fang: Triangular numbers in geometric progression
- ↑ Fang: Nonexistence of a geometric progression that contains four triangular numbers
- ↑ Liu, Zhi-Guo (2003-12-01). An Identity of Ramanujan and the Representation of Integers as Sums of Triangular Numbers. The Ramanujan Journal (en inglés) 7. pp. 407–434. ISSN 1382-4090. doi:10.1023/B:RAMA.0000012425.42327.ae.
- ↑ Sun, Zhi-Hong (2016-01-24). "Ramanujan's theta functions and sums of triangular numbers". arXiv:1601.06378 [math.NT].
Véxase tamén[editar | editar a fonte]
Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Número triangular |