Conexo por camiños

Un espazo conexo por arcos.

Un espazo topolóxico dise conexo por camiños (ou conexo por arcos) se dados calquera dous puntos del existe un camiño uníndoos. O concepto de conexidade por camiños é máis forte que o de conexidade, ou sexa, calquera espazo topolóxico conexo por camiños é conexo. Do mesmo xeito, diremos que un espazo é localmente conexo por camiños se para cada punto del existe un aberto contendo dito punto que é conexo por camiños. Ademais, un espazo conexo por camiños non é, en xeral, localmente conexo por camiños. Por outra banda, se un conxunto é conexo e localmente conexo por camiños, entón é conexo por camiños.

As seguintes son algunhas das relacións máis coñecidas entre conexidade, conexidade por camiños e conexidade local por camiños:

• $A{\text{ conexo por camiños}}\Rightarrow A{\text{ conexo}}\nRightarrow A{\text{ conexo por camiños}}.$
• $A{\text{ conexo por camiños}}\nRightarrow A{\text{ localmente conexo por camiños}}\nRightarrow A{\text{ conexo por camiños}}.$
• $A{\text{ conexo e localmente conexo por camiños}}\iff A{\text{ conexo por camiños}}.$

Exemplos

• Se A e B son conexos por camiños e $A\cap B\neq \varnothing \,$${\displaystyle }$, entón $A\cup B\,$ ${\displaystyle }$ é conexo por camiños.
• Se A e B son conexos por camiños, entón $A\times B\,$ na${\displaystyle }$ topoloxía produto é conexo por camiños.
• Todo subconxunto convexo dun espazo euclidiano é conexo por camiños.
• Todo subconxunto estrelado dun espazo euclidiano é conexo por camiños.
• O espazo peite é conexo por camiños mais non é localmente conexo por camiños.
• Se $A$ e $B$ son subconxuntos disxuntos do mesmo espazo topolóxico localmente conexos por camiños, entón $A\cup B$ non é conexo nin consecuentemente conexo por camiños.

Observación

Existe outra definición máis forte de conexo por camiños na que o camiño debe ser un homeomorfismo do intervalo pechado [0,1]. Un exemplo dun espazo conexo por camiños pola primeira definición que non é conexo por camiños por esta segunda é o conxunto $X=[0,+\infty )\cup \{0'\}$ dotado coa topoloxía da orde en relación á orde parcial $\prec$ definida por $x\prec y$ se e só se $x,y\in [0,+\infty )$ e $x<y\,\!$ ou $x=0'\,\!$ e $y\in (0,+\infty )$. Neste conxunto existe un camiño $\alpha :[0,1]\to X\,\!$ entre 0 e 0', mais este camiño non pode ser escollido de forma que sexa inxectivo.