Coeficiente binomial
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Pascal%27s_triangle_5.svg/200px-Pascal%27s_triangle_5.svg.png)
Os coeficientes binomiais ou números combinatorios son os enteiros positivos que aparecen como coeficientes no teorema do binomio. Normalmente, un coeficiente binomial está representado por un par de números enteiros n ≥ k ≥ 0 e escríbese Correspóndese co coeficiente do termo xk na expansión polinómica da potencia binomial (1 + x)n; este coeficiente pódese calcular mediante a fórmula
Imos ver un exemplo, a cuarta potencia de (1 + x) é
e calculamos o coeficiente binomial é o coeficiente do termo x2.
Se ordenamos os números en filas sucesivas para n = 0, 1, 2, ... daquela temos unha matriz triangular chamada triángulo de Pascal, que satisfai a relación de recorrencia
En moitas áreas das matemáticas aparecen os coeficientes binomiais, e teñen especial incidencia na combinatoria. O símbolo adoita lerse como "n sobre k". Hai formas de escoller un subconxunto (desordenado) de k elementos dun conxunto fixo de n elementos. Por exemplo, hai formas de escoller 2 elementos entre {1, 2, 3, 4} , é dicir, {1, 2} , {1, 3} , {1, 4} , {2, 3} , {2, 4} e {3, 4} .
Agora podemos xeneralizar para que poida usarse para calquera número complexo z e enteiro k ≥ 0, e moitas das súas propiedades seguen a manterse nesta forma máis xeral.
As notacións alternativas máis frecuentes son C(n, k), Cn
k, e Cn,k, en todas elas o C significa combinacións.
Definición e interpretacións[editar | editar a fonte]
Para os números naturais n e k, o coeficiente binomial pódese definir como o coeficiente do monomio Xk na expansión de (1 + X)n. O mesmo coeficiente tamén ocorre (se k ≤ n ) na fórmula binomial
-
(∗)
(válida para calquera elemento x, y dun anel conmutativo), o que explica o nome de "coeficiente binomial".
Tamén aparece na combinatoria, onde dá o número de subconxuntos de k elementos (ou k-combinacións) dun conxunto de n elementos.
Cálculo do valor dos coeficientes binomiais[editar | editar a fonte]
Fórmula recursiva[editar | editar a fonte]
con valores límite
Fórmula multiplicativa[editar | editar a fonte]
Fórmula factorial[editar | editar a fonte]
-
(1)
Xeneralización e conexión coa serie binomial[editar | editar a fonte]
A fórmula multiplicativa permítenos ampliar a definición dos coeficientes binomiais substituíndo n por un número arbitrario (negativo, real, complexo) ou mesmo un elemento de calquera anel conmutativo no que todos os enteiros positivos sexan invertibles:
-
(2)
Esta fórmula é válida para todos os números complexos α e X con |X| < 1.
Triángulo de Pascal[editar | editar a fonte]
A regra de Pascal é unha importante relación de recorrencia
-
(3)
que se pode utilizar para demostrar por indución matemática que é un número natural para todos os enteiros n ≥ 0 e todos os enteiros k, un feito que non é inmediatamente obvio a partir da fórmula (1).
A regra de Pascal dá lugar ao triángulo de Pascal:
0: | 1 | ||||||||||||||||
1: | 1 | 1 | |||||||||||||||
2: | 1 | 2 | 1 | ||||||||||||||
3: | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||||||||
4: | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||||||||
5: | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||||||||
6: | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||||||||
7: | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||||||||
8: | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 |
O número de fila n contén os números para k = 0, …, n . Constrúese colocando primeiro 1 nas posicións máis externas e despois enchendo cada posición interna coa suma dos dous números directamente enriba.
Combinatoria e estatística[editar | editar a fonte]
Os coeficientes binomiais son de importancia en combinatoria, porque proporcionan fórmulas feitas para certos problemas frecuentes de contaxe:
- Hai formas de escoller k elementos dun conxunto de n elementos. Consulte Combinación.
- Hai formas de escoller k elementos dun conxunto de n elementos se se permiten as repeticións. Consulte Multiconxunto.
- Hai cadeas que conteñen k uns e n ceros.
- Hai cadeas formadas por k uns e n ceros de xeito que non hai dous uns adxacentes.[1]
- Os números de Catalan son
- A distribución binomial en estatística é
Coeficientes binomiais como polinomios[editar | editar a fonte]
Dado calquera enteiro non negativo k, a expresión pódese simplificar e definir como un polinomio dividido por k!:
isto presenta un polinomio en t con coeficientes racionais.
Os seus coeficientes poden expresarse en termos dos números de Stirling:
Identidades que implican coeficientes binomiais[editar | editar a fonte]
Se k é un número enteiro positivo e n é arbitrario, entón
-
(5)
Para n constnte, temos a seguinte recorrencia:
Sumas dos coeficientes binomiais[editar | editar a fonte]
A fórmula
-
(∗∗)
expresa que os elementos da fila n-ésima do triángulo de Pascal sempre suman 2 elevados á potencia n-ésima.
Temos dúas fórmulas máis,
- .
- .
Estas dúas fórmulas séguense do teorema do binomio despois de diferenciar con respecto a x (dúas veces na segunda) e despois de substituír x = y = 1 .
A identidade de Chu-Vandermonde, que se cumpre para calquera valores complexos m e n e calquera número enteiro non negativo k, é
-
(7)
No caso especial n = 2m, k = m, usando (1), a expansión (7) fica como
-
(8)
onde o termo do lado dereito é un coeficiente binomial central. Imos ver outra forma da identidade de Chu-Vandermonde que se aplica a calquera número enteiro j, k e n que satisfaga 0 ≤ j ≤ k ≤ n, é
-
(9)
Cando j = k, a ecuación (9) dá
Sexa F (n) o n-ésimo número de Fibonacci, entón
Sumas de multiseccións[editar | editar a fonte]
Para os enteiros s e t tales que as series de multisección (con termos igualmente espazados) dás a seguinte identidade para a suma dos coeficientes binomiais:
Para s pequenos, estas series teñen formas particularmente feitucas; por exemplo, [2]
Sumas parciais[editar | editar a fonte]
co caso especial
para n > 0. Este último resultado é tamén un caso especial do resultado da teoría das diferenzas finitas que para calquera polinomio P(x) de grao menor que n, [3]
Cando P(x) é de grao menor ou igual a n,
-
(10)
onde é o coeficiente de grao n en P (x).
Identidade de Dixon[editar | editar a fonte]
ou, máis xeralmente,
onde a, b e c son enteiros non negativos.
Identidades continuas[editar | editar a fonte]
Existen certas integrais trigonométricas que teñen valores expresables en termos de coeficientes binomiais, para calquera
Estas integrais pódense demostrar usando a fórmula de Euler para converter funcións trigonométricas en exponenciais complexas, expandindo usando o teorema binomial e integrando termo por termo.
Congruencias[editar | editar a fonte]
Se n é primo, entón
De xeito máis xeral, isto segue sendo certo se n é calquera número e k é tal que todos os números entre 1 e k son coprimos con n.
Daquela temos
Funcións xeradoras[editar | editar a fonte]
Funcións xeradoras ordinarias[editar | editar a fonte]
Se temos un n fixo, a función xeradora ordinaria da secuencia é
Agora, se facemos que k sexa fixo, a función xeradora ordinaria da secuencia é
A función xeradora bivariada dos coeficientes binomiais é
Función xeradora exponencial[editar | editar a fonte]
Para dúas variables, unha función xeradora exponencial simétrica dos coeficientes binomiais é:
Propiedades de divisibilidade[editar | editar a fonte]
En 1852, Kummer demostrou (Teorema de Kummer) que se m e n son enteiros non negativos e p é un número primo, entón a maior potencia de p que divide é igual a pc, onde c é o número de carrexos cando m e n se suman na base p. Isto é valoración p-ádica dun coeficiente binomial.
Os coeficientes binomiais teñen propiedades de divisibilidade relacionadas cos mínimos múltiplos comúns (lcm) de números enteiros consecutivos. Por exemplo:[4]
- .
- .
un dato máis en relación á divisibilidade: un número enteiro n ≥ 2 é primo se e só se todos os coeficientes binomiais intermedios
son divisibles por n.
Límites e fórmulas asintóticas[editar | editar a fonte]
Os seguintes límites para cúmprense para todos os valores de n e k tal que 1 ≤ k ≤ n:
Tanto n como k grandes[editar | editar a fonte]
A aproximación de Stirling dá a seguinte aproximación, válida cando tenden ao infinito:
- .
- .
Se n é grande e k é linear en n, existen varias estimacións asintóticas precisas para o coeficiente binomial . Por exemplo, se entón
n moito maior que k[editar | editar a fonte]
Se n é grande e k é o(n) (é dicir, se k/n → 0), entón
Coeficientes binomiais xeneralizados[editar | editar a fonte]
Obtemos unha nova expresión para os coeficientes binomiais usando a fórmula do produto infinito para a función gamma
Xeneralizacións[editar | editar a fonte]
Xeneralización a multinomial[editar | editar a fonte]
- Artigo principal: Teorema Multinomial.
Os coeficientes binomiais pódense xeneralizarse a coeficientes multinomiais definidos como o número:
onde
Lembrando o que representan os coeficientes binomiais de (x + y)n, vemos que os coeficientes multinomiais representan os coeficientes do polinomio
O caso r = 2 dá os coeficientes binomiais:
A interpretación combinatoria dos coeficientes multinomiais sería que temos n elementos distinguibles sobre r recipientes distinguibles, onde cada un contén exactamente ki elementos, onde i é o índice do recipiente.
Serie de Taylor[editar | editar a fonte]
Usando os números de Stirling do primeiro tipo,, temos que a expansión en serie arredor de calquera punto escollido arbitrariamente é
Coeficiente binomial con n = 1/2[editar | editar a fonte]
Podemos estender a definición dos coeficientes binomiais ao caso en que é real e é enteiro.
En particular, a seguinte identidade cúmprese para calquera número enteiro non negativo :
Isto vese cando se expande nunha serie de potencias utilizando a serie binomial de Newton:
Descomposición de fracción parcial[editar | editar a fonte]
A descomposición en fraccións parciais do recíproco vén dada por
Serie binomial de Newton[editar | editar a fonte]
- Artigo principal: Serie binomial.
A serie binomial de Newton, que recibe o nome de Isaac Newton, é unha xeneralización do teorema binomial a series infinitas:
A identidade pódese obter mostrando que ambos os dous lados satisfan a ecuación diferencial (1 + z) f'(z) = α f(z).
O raio de converxencia desta serie é 1. Unha expresión alternativa é
onde se aplica a identidade
- .
Coeficiente binomial multiconxunto (ascendente)[editar | editar a fonte]
Os coeficientes binomiais contan subconxuntos de tamaño prescrito dun conxunto dado. Un problema combinatorio relacionado é contar multiconxuntos é dicir, contar o número de formas de seleccionar un determinado número de elementos dun conxunto dado incluíndo a posibilidade de seleccionar o mesmo elemento con repetición. Os números resultantes chámanse coeficientes multiconxuntos;[7] o número resultante dunha "multiescolla" (isto é, escolla con remprazacemento) de k elementos de un conxunto de n elementos denótase cun duplo paréntese .
O valor dos coeficientes multiconxunto é
Xeneralizaciónn a enteiros negativos[editar | editar a fonte]
Para calquera n,
En particular, os coeficientes binomiais para enteiros negativos n poden darse con coeficientes multiconxuntos negativos.
Por exemplo,
Dous argumentos reais ou complexos[editar | editar a fonte]
Xeneralízase a dous argumentos reais ou complexos usando a función gamma ou a función beta vía
Esta definición herda as seguintes propiedades da :
e tamén,
A función resultante ten sido pouco estudada, ao parecer obtívose un gráfico dela por primeira vez en (Fowler 1996).
Xeneralización a q-series[editar | editar a fonte]
O coeficiente binomial ten un q-análogo coñecido como en:Gaussian binomial coefficient.
Notas[editar | editar a fonte]
- ↑ Muir, Thomas (1902). "Note on Selected Combinations". Proceedings of the Royal Society of Edinburgh.
- ↑ Gradshteyn & Ryzhik (2014).
- ↑ Ruiz, Sebastian (1996). "An Algebraic Identity Leading to Wilson's Theorem". The Mathematical Gazette 80 (489): 579–582. JSTOR 3618534. arXiv:math/0406086. doi:10.2307/3618534.
- ↑ Farhi, Bakir (2007). "Nontrivial lower bounds for the least common multiple of some finite sequence of integers". Journal of Number Theory 125 (2): 393–411. arXiv:0803.0290. doi:10.1016/j.jnt.2006.10.017.
- ↑ Spencer, Joel; Florescu, Laura (2014). Asymptopia. Student mathematical library 71. AMS. p. 66. ISBN 978-1-4704-0904-3. OCLC 865574788.
- ↑ Spencer, Joel; Florescu, Laura (2014). Asymptopia. Student mathematical library 71. AMS. p. 59. ISBN 978-1-4704-0904-3. OCLC 865574788.
- ↑ Munarini, Emanuele (2011). Riordan matrices and sums of harmonic numbers (PDF). Applicable Analysis and Discrete Mathematics 5. pp. 176–200. MR 2867317. doi:10.2298/AADM110609014M..
Véxase tamén[editar | editar a fonte]
Bibliografía[editar | editar a fonte]
- Ash, Robert B. (1990) [1965]. Information Theory. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-66521-6.
- Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J. (2003). Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof. Dolciani Mathematical Expositions 27. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-333-7.
- Bryant, Victor (1993). Aspects of combinatorics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-41974-3.
- Flum, Jörg; Grohe, Martin (2006). Parameterized Complexity Theory. Springer. ISBN 978-3-540-29952-3. Arquivado dende o orixinal o 2007-11-18. Consultado o 2017-08-28.
- Fowler, David (January 1996). "The Binomial Coefficient Function". The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 103 (1): 1–17. JSTOR 2975209. doi:10.2307/2975209.
- Goetgheluck, P. (1987). "Computing Binomial Coefficients". American Mathematical Monthly 94 (4): 360–365. JSTOR 2323099. doi:10.2307/2323099.
- Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Concrete Mathematics (Second ed.). Addison-Wesley. pp. 153–256. ISBN 0-201-55802-5.
- Gradshteyn, I. S.; Ryzhik, I. M. (2014). Table of Integrals, Series, and Products (8th ed.). Academic Press. ISBN 978-0-12-384933-5.
- Grinshpan, A. Z. (2010). Weighted inequalities and negative binomials. Advances in Applied Mathematics 45. pp. 564–606. doi:10.1016/j.aam.2010.04.004.
- Higham, Nicholas J. (1998). Handbook of writing for the mathematical sciences. SIAM. p. 25. ISBN 0-89871-420-6.
- Knuth, Donald E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms (Third ed.). Addison-Wesley. pp. 52–74. ISBN 0-201-89683-4.
- Singmaster, David (1974). "Notes on binomial coefficients. III. Any integer divides almost all binomial coefficients". Journal of the London Mathematical Society 8 (3): 555–560. doi:10.1112/jlms/s2-8.3.555.
- Shilov, G. E. (1977). Linear algebra. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63518-7.
- Uspensky, James (1937). Introduction to Mathematical Probability. McGraw-Hill.
Outros artigos[editar | editar a fonte]
- Transformación binomial
- Número de Delannoy
- Número euleriano
- Función hiperxeométrica
- Número de Motzkin
- Número de Narayana
Ligazóns externas[editar | editar a fonte]
- "Binomial coefficients". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
- Andrew Granville (1997). "Arithmetic Properties of Binomial Coefficients I. Binomial coefficients modulo prime powers". CMS Conf. Proc 20: 151–162.