Xeometría diferencial de superficies

En matemáticas, a xeometría diferencial de superficies trata sobre a xeometría diferencial de superficies suaves con varias estruturas adicionais, a maioría das veces, unha métrica de Riemann.

As superficies foron estudadas amplamente desde varias perspectivas: extrínsecamente, en relación co seu mergullo no espazo euclidiano e intrínsecamente, reflectindo as súas propiedades determinadas unicamente pola distancia dentro da superficie medida ao longo das curvas da superficie.

Un dos conceptos fundamentais investigados é a curvatura gaussiana, estudada por primeira vez en profundidade por Carl Friedrich Gauss, quen demostrou que a curvatura era unha propiedade intrínseca dunha superficie, independentemente do seu mergullo isométrico no espazo euclidiano.

As superficies xorden naturalmente como gráficas de funcións dun par de variábeis, e ás veces aparecen en forma paramétrica ou como lugares xeométricos asociados a curvas espaciais.

Un papel importante no seu estudo xogaron os grupos de Lie (no espírito do programa Erlangen), a saber, os grupos de simetría do plano euclidiano, a esfera e o plano hiperbólico.

Superficies regulares no espazo euclidiano

Definición

É intuitivamente claro que unha esfera é suave, mentres que un cono ou unha pirámide, polo seu vértice ou arestas, non o son.

A noción de "superficie regular" é unha formalización da noción de superficie suave. A definición utiliza a representación local dunha superficie mediante mapas entre espazos euclidianos. Existe unha noción estándar de suavidade para eses mapas; un mapa entre dous subconxuntos abertos do espazo euclidiano é suave se as súas derivadas parciais de calquera orde existen en todo punto do dominio.

Unha superficie regular no espazo euclidiano ℝ³ é un subconxunto S de ℝ³ tal que todo punto de S admite calquera dos seguintes tres conceptos: parametrizacións locais, parches de Monge ou funcións implícitas.

A seguinte táboa dá definicións destes obxectos; as formas de Monge son quizais os máis intuitivos visualmente, xa que esencialmente di que unha superficie regular é un subconxunto de ℝ³ que é localmente a gráfica dunha función suave (xa sexa sobre unha rexión no plano yz, no plano xz ou no plano xy ).

Unha parametrización local da forma de Monge para o hemisferio superior da 2-esfera, obtida proxectando no plano xy

Obxectos	Definición
Parametrizacións locais	Unha veciñanza aberta U ⊂ S para a cal hai un subconxunto aberto V de ℝ2 e un homeomorfismo f : V → U tal que f, como unha función V → ℝ3, é infinitamente diferenciábel (é dicir, suave) para todo punto de V, as dúas derivadas parciais ∂u f e ∂v f son linearmente independentes como elementos de ℝ3.
Formas de Monge	Unha veciñanza aberta U ⊂ ℝ3 para a cal hai un subconxunto aberto V de ℝ2 e unha función suave h : V → ℝ tal que se cumpra unha das seguintes condicións: S ∩ U = {(h(u, v), u, v) : (u, v) ∈ V } S ∩ U = {(u, h(u, v), v) : (u, v) ∈ V } S ∩ U = {(u, v, h(u, v)) : (u, v) ∈ V }.
Funcións implícitas	Unha veciñanza aberta U ⊂ ℝ3 para a cal existe unha función suave F : U → ℝ con: S ∩ U = {(x, y, z) ∈ U : F(x, y, z) = 0 } en todo punto de S ∩ U, polo menos unha derivada parcial de F é distinta de cero.

Os homeomorfismos que aparecen na primeira definición coñécense como parametrizacións locais ou sistemas de coordenadas locais ou cartas locais en S. A equivalencia das dúas primeiras definicións afirma que, ao redor de calquera punto dunha superficie regular, sempre existen parametrizacións locais da forma (u, v) ↦ (h(u, v), u, v), (u, v) ↦ (u, h(u, v), v), h (u, v) ↦ (u, v, h(u, v)), coñecidos como formas de Monge.

As funcións F como na terceira definición chámanse funcións definidoras locais. A equivalencia das tres definicións dedúcese do teorema da función implícita.

Os cambios de coordenadas entre diferentes cartas locais deben ser suaves

Dadas dúas parametrizacións locais calquera f : V → U e f ′ : V ′→ U ′ dunha superficie regular, a composición f ⁻¹ ∘ f ′ é necesariamente suave como un mapa entre subconxuntos abertos de ℝ². Isto mostra que calquera superficie regular ten naturalmente a estrutura dunha variedade suave, cun atlas suave dado polas inversas das parametrizacións locais.

Unha hiperboloide de dúas follas

Un toro

Un helicoide

Exemplos simples. Un exemplo sinxelo de superficie regular vén dado pola 2-esfera {(x, y, z) | x² + y² + z² = 1 }; esta superficie pode estar cuberta por seis formas de Monge (dous de cada un dos tres tipos indicados anteriormente), tomando h(u, v) = ± (1 − u² − v²)^1/2 . Tamén se pode cubrir mediante dúas parametrizacións locais, utilizando a proxección estereográfica. O conxunto {(x, y, z) : ((x² + y²)^1/2 − r)² + z² = R² } é un toro de revolución con raios r e R. É unha superficie regular; as parametrizacións locais pódense dar da forma

$f(s,t)={\big (}(R\cos s+r)\cos t,(R\cos s+r)\sin t,R\sin s{\big )}.$

A hiperboloide en dúas follas {(x, y, z) : z² = 1 + x² + y² } é unha superficie regular; pódese cubrir por dúas formas de Monge, con h(u, v) = ±(1 + u² + v²)^1/2 . O helicoide aparece na teoría das superficies mínimas. Está cuberto por unha soa parametrización local, f(u, v) = (u sin v, u cos v, v) .

Vectores tanxentes e vectores normais

Sexa S unha superficie regular en ℝ³, e sexa p un elemento de S. Usando calquera das definicións anteriores, pódense sinalar certos vectores en ℝ³ como tanxentes a S en p, e certos vectores en ℝ³ como ortogonais a S en p .

Obxectos utilizados na definición	Un vector X en ℝ3 é tanxente a S en p se...	Un vector n en ℝ3 é normal a S en p se...
Parametrizacións locais	... dada calquera parametrización local f : V → S con p ∈ f(V), X é unha combinación linear de $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial u}}{\big |}_{f^{-1}(p)}$ e $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial v}}{\big |}_{f^{-1}(p)}$	... é ortogonal a todo vector tanxente a S en p
Formas de Monge	... para calquera forma de Monge (u, v) ↦ (u, v, h(u, v)) cuxo rango inclúa p, temos $X^{1}{\frac {\partial h}{\partial u}}+X^{2}{\frac {\partial h}{\partial v}}-X^{3}=0,$ coas derivadas parciais avaliadas no punto (p1, p2). A definición análoga aplícase no caso dos parches de Monge das outras dúas formas.	... para calquera forma de Monge (u, v) ↦ (u, v, h(u, v)) cuxo rango inclúa p, n é un múltiplo de (∂h/∂u, ∂h/∂v, −1) como se avalía no punto (p1, p2). A definición análoga aplícase no caso das formas de Monge das outras dúas formas.
Funcións implicitas	... para calquera función de definición local F cuxo dominio contén p, X é ortogonal a ∇F(p)	... para calquera función de definición local F cuxo dominio contén p, n é un múltiplo de ∇F(p)

Vese que o espazo tanxente ou plano tanxente a S en p, que se define como formado por todos os vectores tanxentes a S en p, é un subespazo linear bidimensional de ℝ³; adoita denotarse por T_pS.

O espazo normal a S en p, que se define como formado por todos os vectores normais a S en p, é un subespazo linear unidimensional de ℝ³ que é ortogonal ao espazo tanxente T_pS. Como tal, en cada punto p de S, hai dous vectores normais de lonxitude unidade (vectores normais unidade). Os vectores normais unidade en p pódense dar en termos de parametrizacións locais, formas de Monge ou funcións de definición locais, a través das fórmulas

$\pm \left.{\frac {{\frac {\partial f}{\partial u}}\times {\frac {\partial f}{\partial v}}}{{\big \|}{\frac {\partial f}{\partial u}}\times {\frac {\partial f}{\partial v}}{\big \|}}}\right|_{f^{-1}(p)},\qquad \pm \left.{\frac {{\big (}{\frac {\partial h}{\partial u}},{\frac {\partial h}{\partial v}},-1{\big )}}{\sqrt {1+{\big (}{\frac {\partial h}{\partial u}}{\big )}^{2}+{\big (}{\frac {\partial h}{\partial v}}{\big )}^{2}}}}\right|_{(p_{1},p_{2})},\qquad {\text{ou}}\qquad \pm {\frac {\nabla F(p)}{{\big \|}\nabla F(p){\big \|}}},$

seguindo as mesmas notacións que nas definicións anteriores.

Tamén é útil observar unha definición "intrínseca" dos vectores tanxentes, que é típica da xeneralización da teoría de superficies regulares para a configuración de variedades suaves. Define o espazo tanxente como un espazo vectorial real bidimensional abstracto, máis que como un subespazo linear de ℝ³. Nesta definición, dise que un vector tanxente a S en p é unha asignación, a cada parametrización local f : V → S con p ∈ f(V), de dous números X¹ e X², tal que para calquera outra parametrización local f ′ : V → S con p ∈ f(V) (e cos números correspondentes (X ′)¹ e (X ′)² ), temos

${\begin{pmatrix}X^{1}\\X^{2}\end{pmatrix}}=A_{f'(p)}{\begin{pmatrix}(X')^{1}\\(X')^{2}\end{pmatrix}},$

onde A_{f ′(p)} é a matriz jacobiana da representación f ⁻¹ ∘ f ′, avaliada no punto f ′(p). A colección de vectores tanxentes a S en p ten naturalmente a estrutura dun espazo vectorial bidimensional. Un vector tanxente neste sentido corresponde a un vector tanxente no sentido anterior considerando o vector

$X^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+X^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}.$

en ℝ³. A condición jacobiana en X¹ e X² asegura, pola regra da cadea, que este vector non depende de f .

Para funcións suaves nunha superficie, os campos vectoriais (é dicir, os campos vectoriais tanxentes) teñen unha interpretación importante como operadores ou derivacións de primeira orde.

Sexa $S$ unha superficie regular, $U$ un subconxunto aberto do plano e $f:U\rightarrow S$ unha carta de coordenadas ou marco local. Se $V=f(U)$, o espazo $C^{\infty }(U)$ pódese identificar con $C^{\infty }(V)$. Do mesmo xeito $f$ identifica campos vectoriais $U$ con campos vectoriais en $V$. Tomando as variábeis estándar u e v, un campo vectorial ten a forma $X=a\partial _{u}+b\partial _{v}$, con funcións suaves a e b. Se $X$ é un campo vectorial e $g$ é unha función suave, entón $Xg$ tamén é unha función suave. O operador diferencial de primeira orde $X$ é unha derivación, é dicir, cumpre a regra de Leibniz $X(gh)=(Xg)h+g(Xh).$

Para os campos vectoriais X e Y é sinxelo comprobar que o operador $[X,Y]=XY-YX$ é unha derivación correspondente a un campo vectorial. Chámase corchete de Lie $[X,Y]$. É antisimétrico $[X,Y]=-[Y,X]$ e satisfai a identidade de Jacobi:

$[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0.$

En resumo, os campos vectoriais en $U$ ou $V$ forman unha álxebra de Lie baixo o corchete de Lie.

Véxase tamén

Bibliografía

• Andrews, Ben; Bryan, Paul (2010). Curvature bounds by isoperimetric comparison for normalized Ricci flow on the two-sphere. Calc. Var. Partial Differential Equations 39. pp. 419–428. arXiv:0908.3606. doi:10.1007/s00526-010-0315-5. 
• Arnold, V.I. (1989). Mathematical methods of classical mechanics. Graduate Texts in Mathematics 60 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90314-9. ; translated from the Russian by K. Vogtmann and A. Weinstein.
• Berger, Marcel (2004). A Panoramic View of Riemannian Geometry. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65317-2. 
• Berger, Melvyn S. (1977). Nonlinearity and Functional Analysis. Academic Press. ISBN 978-0-12-090350-4. 
• Bonola, Roberto; Carslaw, H. S.; Enriques, F. (1955). Non-Euclidean Geometry: A Critical and Historical Study of Its Development. Dover. ISBN 978-0-486-60027-7. 
• Boothby, William M. (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Pure and Applied Mathematics 120 (2nd ed.). Academic Press. ISBN 0121160521. 
• Cartan, Élie (1983). Geometry of Riemannian Spaces. Math Sci Press. ISBN 978-0-915692-34-7. ; translated from 2nd edition of Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann (1951) by James Glazebrook.
• Cartan, Élie (2001). Riemannian Geometry in an Orthogonal Frame (from lectures delivered by É Cartan at the Sorbonne in 1926-27). World Scientific. ISBN 978-981-02-4746-1. doi:10.1142/4808. ; translated from Russian by V. V. Goldberg with a foreword by S. S. Chern.
• Cartan, Henri (1971). Calcul Differentiel (en francés). Hermann. ISBN 9780395120330. 
• Chen, Xiuxiong; Lu, Peng; Tian, Gang (2006). A note on uniformization of Riemann surfaces by Ricci flow. Proc. AMS 134. pp. 3391–3393. doi:10.1090/S0002-9939-06-08360-2. 
• Chern, S. S. (1967). Curves and Surfaces in Euclidean Spaces. MAA Studies in Mathematics. Mathematical Association of America. 
• Chow, B. (1991). The Ricci flow on a 2-sphere. J. Diff. Geom. 33. pp. 325–334. doi:10.4310/jdg/1214446319. 
• Courant, Richard (1950). Dirichlet's Principle, Conformal Mapping and Minimal Surfaces. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-486-44552-6. 
• Darboux, Gaston. Leçons sur la théorie générale des surfaces. Gauthier-Villars.  Volume I (1887), Volume II (1915) [1889], Volume III (1894), Volume IV (1896).
• Ding, W. (2001). A proof of the uniformization theorem on S². J. Partial Differential Equations 14. pp. 247–250. 
• do Carmo, Manfredo P. (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces (revised & updated 2nd ed.). Mineola, NY: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-80699-0. 
• do Carmo, Manfredo (1992). Riemannian geometry. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3490-8. 
• Eisenhart, Luther Pfahler (2004). A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces (reprint of the 1909 ed.). Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-43820-1. 
• Euler, Leonhard (1760). Recherches sur la courbure des surfaces. Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 16 (1767). pp. 119–143. .
• Euler, Leonhard (1771). De solidis quorum superficiem in planum explicare licet. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 16 (1772). pp. 3–34. .
• Gauss, Carl Friedrich (1902). General Investigations of Curved Surfaces of 1825 and 1827. Princeton University Library.  translated by A.M. Hiltebeitel and J.C. Morehead; "Disquisitiones generales circa superficies curvas", Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827), pp. 99–146.
  • Gauss, Carl Friedrich (1965). General Investigations of Curved Surfaces. Traducido por A.M. Hiltebeitel; J.C. Morehead. Hewlett, NY: Raven Press. OCLC 228665499. .
  • Gauss, Carl Friedrich (2005). General Investigations of Curved Surfaces. edited with a new introduction and notes by Peter Pesic. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-44645-5. .
• Gray, Alfred; Abbena, Elsa; Salamon, Simon (2006). Modern Differential Geometry of Curves And Surfaces With Mathematica®. Studies in Advanced Mathematics (3rd ed.). Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-448-4. 
• Han, Qing; Hong, Jia-Xing (2006). Isometric Embedding of Riemannian Manifolds in Euclidean Spaces. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4071-9. 
• Helgason, Sigurdur (1978). Differential Geometry，Lie Groups, and Symmetric Spaces. Academic Press, New York. ISBN 978-0-12-338460-7. 
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometry and the Imagination (2nd ed.). New York: Chelsea. ISBN 978-0-8284-1087-8. 
• Hitchin, Nigel (2013). Geometry of Surfaces (PDF). 
• Hopf, Heinz (1989). Lectures on Differential Geometry in the Large. Lecture Notes in Mathematics 1000. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-51497-8. 
• Imayoshi, Y.; Taniguchi, M. (1992). An Introduction to Techmüller spaces. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-70088-5. 
• Ivey, Thomas A.; Landsberg, J.M. (2003). Cartan for Beginners: Differential Geometry via Moving Frames and Exterior Systems. Graduate Studies in Mathematics 61. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3375-9. 
• Katz, Mikhail G. (2007). Systolic geometry and topology. Mathematical Surveys and Monographs 137. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4177-8. 
• Milnor, J. (1963). Morse theory. Annals of Mathematics Studies 51. Princeton, N.J.: Princeton University Press. MR 0163331. Zbl 0108.10401. 
• Kobayashi, Shoshichi (1956). Induced connections and imbedded Riemannian space. Nagoya Math. J. 10. pp. 15–25. doi:10.1017/S0027763000000052. 
• Kobayashi, Shoshichi (1957). Theory of connections. Annali di Matematica Pura ed Applicata. Series 4 43. pp. 119–194. doi:10.1007/BF02411907. ,
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1963). Foundations of Differential Geometry, Vol. I. Wiley Interscience. ISBN 978-0-470-49648-0. 
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969). Foundations of Differential Geometry, Vol. II. Wiley Interscience. ISBN 978-0-470-49648-0. 
• Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. Dover. ISBN 978-0-486-66721-8. 
• Kühnel, Wolfgang (2006). Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3988-1. 
• Levi-Civita, Tullio (1917). Nozione di parallelismo in una varietà qualunque. Rend. Circ. Mat. Palermo 42. pp. 173–205. doi:10.1007/BF03014898. 
• O'Neill, Barrett (2006). Elementary Differential Geometry (revised 2nd ed.). Amsterdam: Elsevier/Academic Press. ISBN 0-12-088735-5. 
• Osgood, B.; Phillips, R.; Sarnak, P. (1988). Extremals of determinants of Laplacians. J. Funct. Anal. 80. pp. 148–211. doi:10.1016/0022-1236(88)90070-5. 
• Osserman, Robert (2002). A Survey of Minimal Surfaces. Dover. ISBN 978-0-486-49514-9. 
• Ian R. Porteous (2001) Geometric Differentiation: for the intelligence of curves and surfaces, Cambridge University Press ISBN 0-521-00264-8.
• Pressley, Andrew (2001). Elementary Differential Geometry. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer-Verlag. ISBN 978-1-85233-152-8. 
• Sacks, J.; Uhlenbeck, Karen (1981). The existence of minimal immersions of 2-spheres. Ann. of Math. 112. pp. 1–24. JSTOR 1971131. doi:10.2307/1971131. 
• Singer, Isadore M.; Thorpe, John A. (1967). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90202-9. 
• Spivak, Michael (1965). Calculus on manifolds. A modern approach to classical theorems of advanced calculus. W. A. Benjamin. 
• Stillwell, John (1996). Sources of Hyperbolic Geometry. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0558-9. 
• Struik, Dirk (1987). A Concise History of Mathematics (4th ed.). Dover Publications. ISBN 0486602559. 
• Struik, Dirk J. (1988) [1961]. Lectures on Classical Differential Geometry (reprint of 2nd ed.). New York: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-65609-8. 
• Taylor, Michael E. (1996a). Partial Differential Equations II: Qualitative Studies of Linear Equations. Springer-Verlag. ISBN 978-1-4419-7051-0. 
• Taylor, Michael E. (1996b). Partial Differential Equations III: Nonlinear equations. Springer-Verlag. ISBN 978-1-4419-7048-0. 
• Thorpe, John A. (1994). Elementary topics in differential geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0387903577. 
• Toponogov, Victor A. (2005). Differential Geometry of Curves and Surfaces: A Concise Guide. Springer-Verlag. ISBN 978-0-8176-4384-3. 
• Valiron, Georges (1986). The Classical Differential Geometry of Curves and Surfaces. Math Sci Press. ISBN 978-0-915692-39-2.  Full text of book
• Warner, Frank W. (1983). Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Graduate Texts in Mathematics 94. Springer. ISBN 0-387-90894-3. 
• Wells, R. O. (2017). Differential and complex geometry: origins, abstractions and embeddings. Springer. ISBN 9783319581842. 
• Wilson, Pelham (2008). Curved Space: From Classical Geometries to Elementary Differential Geometry. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71390-0. 

Outros artigos

• Superficie (matemáticas)
• Superficie (topoloxía)
• Variedade diferenciábel
• Regra da cadea

---

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.

---