Vector de onda

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Vector (homónimos).

O vector de onda é un vector que apunta na dirección de propagación da onda en cuestión e cunha magnitude que é o número de onda. A súa expresión matemática é:

$\mathbf {k} =k\mathbf {u} ={\frac {2\pi }{\lambda }}\mathbf {u}$

onde $\mathbf {u}$ é a dirección da propagación da onda. Deste modo, para unha onda xenérica teremos que:

$\Phi (\mathbf {r} ,t)=\Phi (\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)=\Phi (k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z-\omega t)$

Aplicacións

Transversalidade das ondas electromagnéticas planas

O formalismo mediante o vector de onda permite ver rapidamente que as ondas electromagnéticas planas son transversais, é dicir, a oscilación do campo eléctrico e magnético é perpendicular á dirección de propagación da onda e perpendiculares entre si.

Para demostrar isto consideramos unha onda electromagnética plana da forma:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E_{0}} e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)},\qquad \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B_{0}} e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$

Supoñendo unha rexión do espazo sen densidade de carga $\scriptstyle \rho =0$, a lei de Gauss para a diverxencia do campo eléctrico lévanos a que:

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} =i\mathbf {k} \cdot \mathbf {E_{0}} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}=0$

De onde obtemos a perpendicularidade entre o campo eléctrico e a dirección de propagación:

(*)

$\mathbf {\hat {u}} \cdot \mathbf {E_{0}} =0\Rightarrow \mathbf {\hat {u}} \cdot \mathbf {E} =0\qquad \Rightarrow \qquad \mathbf {E} \ \bot \ \mathbf {\hat {u}}$

Usando agora a lei de Faraday para o rotacional do campo eléctrico temos:

(**)

${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =i\mathbf {k} \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=i\omega \mathbf {B}$

De (**), polas propiedades do produto vectorial, dedúcese:

$\mathbf {\hat {u}} \ \bot \ \mathbf {B}$

Polo tanto das expresións (*) e (**) pode concluírse que o campo eléctrico é perpendicular ao vector de onda, e polo tanto á dirección de propagación, e que o campo magnético é perpendicular tanto á dirección de propagación como ao campo eléctrico, formando os vectores $\scriptstyle \{\mathbf {k} ,\mathbf {E} ,\mathbf {B} \}$ un triedro que en cada punto do espazo constitúe unha base vectorial.