Usuario:Carxibai/Axiomas de Tarski

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura

Os axiomas de Tarski, debidos a Alfred Tarski, son un conxunto de axiomas da parte substancial da xeometría euclidiana que é formulable en lóxica de primeira orde con identidade, e sen necesidade ningunha da teoría de conxuntos (i.e., aquela parte de xeometría euclidiana que é formulable como unha teoría elemental). Outros modelos de axiomatizacións da xeometría euclidiana son a dos axiomas de é Hilbert axioms e a dos de Birkhoff .

Overview[editar | editar a fonte]

Nos primeiros tempos da súa carreira Tarski ensinou xeometría e investigou a teoría de conxuntos. O seu compañeiro de traballo Steven Givant (1999) explicou Tarski o punto de vista de Tarski:

A través de Enriques,Tarski aprendeu do traballo de Mario Pieri, un xeómetra italiano que foi fortemente influído por Peano. Tarski Preferiu o sistema de Pieri [da súa memoria Point and Sphere ], onde a estrutura lóxica e a complexidade dos axiomas era máis transparente.

Givant Entón di que "co rigor típico" Tarski argallou o seu sistema:

Que hai de diferente na aproximación de Tarski á xeometría? Primeiro de nada, o sistema axiomático era moito máis sinxelo que ningún dos outros sistemas existentes na altura. De feito o tamaño de todos os axiomas de Tarski xuntos non é moito máis que só un dos 24 axiomas de Pieri. Era o primeiro sistema da xeometría euclidiana que era o bastante sinxelo como para ser expresado en termos das nocións primitivas unicamente, sen a axuda de nocións definidas. De maior importancia é o feito de que por primeira vez unha distinción clara foi feita entre a xeometría completa e a parte elemental — isto é, a de primeira orde —.

Tal e como se fai noutras axiomatizacións modernas da xeometría euclidiana, Tarski emprega un sistema formal que consiste en cadeas de símbolos, chamadas sentencias, cuxa construción respecta as regras sintácticas formais, e regras de demostración que determinan as manipulacións permitidas das sentencias. A diferenza dalgúns outras modernas axiomatizacións como a de Birkhoff e a de Hilbert , a axiomatización deTarski non ten ningún outro obxecto primitivo mais que os puntos, así que unha variáble ou unha constante non pode referirse a unha liña ou un ángulo. A razón de por que os puntos son os únicos obxectos primitivos é porque o sistema de Tarski é unha teoría de primeira orde, polo que nin tan sequera é posíble definir as liñas como conxuntos de puntos. As únicas relacións primitivas (predicados) son "estar entre" e "congruencia" entre puntos.

A axiomatización deTarski é máis curta que as dos seus rivais, nun sentido que Tarski e Givant (1999) fan explícito. É máis conciso que Pieri é porque Pieri tiña só dúas nocións primitivas mentres Tarski presentou tres: punto, "estar entre", e congruencia. Tal economía de nocións primitivas definidas significa que o sistema de Tarski non é moi conveniente para facer xeometría euclidiana. Con todo, Tarski deseñou o seu sistema para facilitar a súa análise por medio das ferramentas da lóxica matemática, p.ex., para facilitar a derivacións das súas propiedades metamatemáticas. O sistema de Tarski ten a propiedade inusual de que todas as frases poden ser escritas mediante a forma existencial, un caso especial da forma normal prenexa. Esta forma escríbese con cuantificadores universais precedendo aos cuantificadores existenciais de modo que todas as frases poden ser reescritas da forma Este feito permitiu a Tarski probar que a xeometría euclidiana é decidible: existe un algoritmo que pode determinar a verdade ou falsidade de calquera enunciado. A axiomatización de Tarski tamén é completa. Isto non contradí o primeiro teorema de incompletitude de Gödel , porque a teoría de Tarski a teoría carece do poder expresivo necesario para interpretar a aritmética de Robinson (Franzén 2005, pp. 25–26)

O axiomas[editar | editar a fonte]

Alfred Tarski traballou na axiomatization e nas metatemáicas da xeometría euclidiana intermitentemente desde 1926 até a súa morte en 1983, cun Tarski (1959) anunciando o seu interese maduro no asunto. O traballo de Tarski e os seus estudantes na xeometría euclidiana culmina na monografía Schwabhäuser, Szmielew, e Tarski (1983), na que estableceu 10 axiomas e un esquema de axioma mostrados abaixo, as metamatemáticas asociadas, e algo do tema. Gupta (1965) fixo contribucións importantes, e Tarski e Givant (1999) trataron a historia.

Relacións fundamentais[editar | editar a fonte]

Estes axiomas son unha versión máis elegante dun conxunto ideado por Tarski na década de 1920s como parte da súa investigación das propiedades metamatemáticas dae xeometría plana euclidiana. Este obxectivo necesitou unha reformulación da xeometría como unha teoría de primeira orde. Tarski fíxoo postulando un universo de puntos, con minúsculas detonando as variábeis que varían sobre ese universo. A igualdade é proporcionada pola lóxica subxacente (ver Lóxica de Primeira orde-Igualdade e o seu axiomas).[1] Tarski entón postulou dúas relacións primitivas:

  • Situado ente, unha relación triádica. A frase atómica Bxyz denota que y está "entre" x e z, noutras palabras, que y é un punto no segmento de liña xz. (Esta relación é interpretada inclusivamente de modo que Bxyz é trivialmente certo cando x=y ou y=z).
  • Congruencia (Ou "equidistancia"), unha relación tetrádica A frase atómica wx ≡ yz pode ser interpretada como wx é congruente a yz, noutras palabras, que a lonxitude do segmento de liña wx é igual á lonxitude do segmento de liña yz.

A relación "estar entre" captura o aspecto afín da xeometría euclidiana; a congruencia, o seu aspecto métrico. A lóxica de fondo inclúe identidade, unha relación binaria. Os axiomas invocan identidade (ou a súa negación) en cinco ocasións.

O axiomas de abaixo agrúpanse polo tipo de relación que invocan, ordenados, primeiro polo número de cuantificadores existenciais, despois polo número de sentencias atómicas. Os axiomas débense ler como clausuras universais; por iso as variables libres terían que ser tomadas tácitamente como cuantificadores universais.

Axiomas de congruencia[editar | editar a fonte]

Reflexividade da congruencia
Identidade da congruencia
Transitividade da congruencia

Comentario[editar | editar a fonte]

Mentres a relación de congruencia é, formalmente, unha relación entre 4 puntos, tamén pode ser pensada , informalmente, como unha relación binaria entre dous segmentos de liña e Os axiomas de "reflexividade" e de "Transitivity" axioms arriba enunciados, en combinación proban:

  • que esta relación binaria é, de feito unha relación de equivalencia
    • É reflexiva: .
    • É simmetrica .
    • É transitiva .
  • e a orde na que os puntos dun segmento son especificados é irrelevante.
    • .
    • .
    • .

O axioma de "transitividade" afirma que a congruencia é euclidiana, polo que respecta a primeira das "nocións comúns" de Euclides.

O axioma da "Identidade da congruencia" establece, intuitivamente, que se xy é congruente cun segmento que empeza e finaliza no mesmo punto, entón x e y son o mesmo punto. Isto está estreitamente relacionado coa noción de reflexividade para relacións binarias.

Axiomas de ordenación[editar | editar a fonte]

Axioma de Pasch
Identidade na relación situado entre

O único punto no segmento de liña é o propio

Axioma de Pasch

As dúas diagonais do cuadrilátero tenñen que cortarse nalgún punto.

Continuidade: φ e ψ dividen o segmento en dúas metades e o axioma afirma a existencia dun punto b dividindo aquelas dúas metades
Esquema de axioma de continuidade

Sexan φ(x) e ψ(y) fórmulas de primeira orde que non conteñan ningún caso libre de de ningún a ou b. Tampouco haberá ningún caso libre de x en ψ(y) ou de y en φ(x). Entón temos o seguinte esquema de axioma:

Sexa r ser unha semirecta con punto inical a. Sexan as fórmulas de primeira orde φ e ψ definindo subconxuntos X e Y de r, tales que cada punto en Y está á dereita de cada punto de X (con respecto a un punto a). Entón existe un punto b en r entre X e Y. Isto é esencialmente a construción do corte de Dedekind, levado a cabo nun xeito que evita cuantificación sobre conxuntos.

Dimensión máis baixa

Existen tres puntos non colineares. Sen este axiom, a teoría podería ser modelada pola liña real unidimensional, un único punto, ou mesmo o conxunto baleiro.

Congruencia a a relación estar entre[editar | editar a fonte]

Dimensión superior

Dimensión superior

Tres puntos equidistantes doutros dous puntos distintos forman unha liña. Sen este axioma, a teoría podería ter un modelo tridimensional ou dunha maior dimensión espacial.

Axioma de Euclides

Cada unha das tres variantes deste axioma, todas equivalentes xunto cos restasntes axiomas de Tarski, ao postulado das paralelas de Euclides, ten unha vantaxe sobre o outros:

  • A non ten cuantificadores existenciais;
  • B ten o menor número de varialbes e de sentencias atómicas;
  • C require únicamend dunha noción primitiva, "estar entre". Esta variante é a habitual un dada na literatura.
A:

Sexa un segmento de liña que une o punto medio de dous lados dun triángulo dado. Ese segmento de liña será como moito a metade do terceiro lado. Isto é equivalente a que a suma dos ángulos interiores de calquera triángulo sexa igual a dous ángulos rectos.

B:

Dado calquera triángulo, existe un círculo que pasa por todos os seus vertices.

Axioma de Euclides: C
C:

Dado un ángulo calquera e un punto calquera v no seu interior, existe un segmento de liña contendo a v, cun punto en cada lado do ángulo.

Cinco segmentos
Cinco segmentos

Empezamos con dous triángulos, xuz e x'u'z'. Debuxamos os segmentos de liña yu e y'u', conectando un vértice de cada triángulo a un punto do oposto ao vértice. O resultado son dous triángulos divididos, cada un formado por cinco segmentos. Se catro segmentos dun dos triángulos son congruentes a cada su segmento no outro triángulo, entón os quintos segmentos en ambos os dous triángulos teñen que ser congruentes.

Isto é equivalente á regla do lado-ángulo-lado para determinar que dous triángulos son congruentes; se os ángulos uxz e u'x'z' son congruentes (existen triángulos congruentes xuz e x'u'z'), e os dous pares de lados incidentes son congruentes (xu ≡ x'u' e xz ≡ x'z'), entón o par restante de lados é tamén congruente (uz ≡ u'z').

Construción dun segmento

Para calquera punto y, é posible debuxar en calquera dirección (determinado por x) unha liña congruente a calquera segmento ab.

Discusión[editar | editar a fonte]

A partir dúas relacións primitivas cuxos campos son un universo denso de puntos, Tarski construíu unha xeometría de segmentos de liña. Segundo Tarski e Givant (1999: 192-93), ningún dos axiomas dados arriba é fundamentalmente novo. Os primeiro catro axiomas estabelecen algunhas propiedades elementais das dúas relacións primitivas. Para o caso, a reflexitividade e a transitividade da congruencia estabelecen que a congruencia é unha relación de equivalencia sobre segmentos de liña. A Identidade da congruence e a relación "estar entre" establece o caso trivial cando aquelas relacións son aplicadas a puntos non distintos. O teorema xy≡zz ↔ x=y ↔ Bxyx estende eses axiomas de identidade .

Algunhas das outras propiedades da relación "estar entre" son derivables como teoremas incluíndo:

  • Reflexitividade: Bxxy ;
  • Simetría: BxyzBzyx ;
  • Transitividade: (Bxyw ∧ Byzw) → Bxyz ;
  • Conectividade: (Bxyw ∧ Bxzw) → (BxyzBxzy).

As últimas dúas propiedades ordenan totalmente os puntos formando un segmento de liña.

Os axiomas de dimensión superior e de baixa dimensión xuntos establecen que calquera modelo destes axiomas terá unha dimensión específica finita. Cambios adecuados nestes axiomas dan lugar a conxuntos para xeometría eucidiana para dimensións 0, 1 e máis grande que 2 (Tarski e Givant 1999: Axioms 8(1), 8(n), 9(0), 9(1), 9(n) ). Decátese de que xeometría sólida non require novos axiomas, a diferenza do caso dos axiomas de Hilbert. Ademais, a máis baixa dimensión para a dimensión n é simplemente a negación da dimensión superior para n - 1 dimensións.

Cando o número de dimensións é máis grande que 1, a relación "estar entre" pode ser definida en termos de congruencia (Tarski e Givant, 1999). Primeiro defínese a relación "≤" (onde é interpretado como "a lonxitude de segmento é menor ou igual á lonxitude de segmento "):

No caso de dúas dimensións, a intuición é como segue: Para calquera segmento de liña xy, considerar o rango de posibles lonxitudes xv, onde v é calquera punto na mediatriz de xy. É evidente que mentres non hai un límite superior da lonxitude xv, hai un límite inferior, o cal ocorre cando v é o punto medio de xy. Así que se xy é máis curto ou igual a zu, entón o rango de lonxitudes posibles de xv será sempre superio ao rango de lonxitudes posibles de zw, onde w é calquera punto na perpendicular bisector de zu.

A relación "estar entre" pode ser definida usando a intuición de que a distancia máis curta entre dous puntos é unha liña recta:

O esquema de xaiomas de continuidade asegura que a ordenación dos puntos nunha liña é completa (con respecto ás propiedades definibles de primeira orde). Os axiomas de Pasch e de Euclides son ben coñecidos. Extraordinariamente, a xeometría euclidiana require só o seguinte axioma adicional:

Escribamos wff para identificar unha fórmula ben formada (ou fórmula correcta sintaticamente) da xeometría elemental. Tarski E Givant (1999: 175) probaron que a xeometría elemental é:

Gupta (1965) probou a indepecia dos axiomas citados arriba agás o de Pasch e o da reflexividada da congruencia.

A negación do axioma deEuclides lévanos á xeometría hiperbólica, mentres que eliminándoo obtemos a xeometría absoluta. A xeometría euclidiana completa (en oposición á elemental) require ir máis alá da axiomatization de primeira orde: substitúe φ(x) e ψ(y) no esquema de axioma de continuidade con x ∈ A e y ∈ B, onde A e B spm variábles cuantificadas universalmente que varían sobre conxuntos de puntos.

Comparación con Hilbert[editar | editar a fonte]

Os axiomas de Hilbert para o plano son un total de 16, e inclúen a transitividade da congruencia e unha variante do axioma de Pasch. A única noción invocada desde a xeometría intuitiva invocada nos comentarios a Tarski axioms é a de triángulo. (As versións B e C do axioma de Euclides refírense a "círculo" e "ángulo," respectivamente.) Os axiomas de Hilbert tamén requiren as nocións de "raio," "ángulo," e a dun triángulo que "inclúe" un ángulo. Alén da relación "estar entre" e a congruencia, os axiomas de axioms necesitan a relación binaria "encima," vinculando un punto e unha liña. O esquema de axiomas da continuidade xoga unha función similar aos dous axiomas de continuidade de Hilbert. Este esquema é indispensáble; a xeometría euclidiana na linguaxe deTarski (ou equivalente) non pode ser finitamente axiomatizada como teoría de primeira orde. Os axiomas deHilbert non constitúen unha teoría de primeira orde porque os seus axiomas de continuidade requeren da lóxica de segunda orde.

Os primeiros catro grupos de axiomas de Hilbert para xeometría plana son é bi-interpretables cos axiomas deTarski agás a continuidade.

Ver tamén[editar | editar a fonte]

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Tarski and Givant, 1999, page 177

Referencias[editar | editar a fonte]

  • Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador.
  • Givant, Steven (1999) "Unificando fíos en Alfred Tarski Traballo", Matemátical Intelligencer 21:47–58.
  • Gupta, H. N. (1965) Contribucións ao Axiomatic Fundacións de Xeometría. Ph.D. Tese, Universidade de California-Berkeley.
  • Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador.. Available as a 2007 reprint, Brouwer Press, ISBN 1-4437-2812-8
  • Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador.
  • Schwabhäuser, W., Szmielew, W., e Alfred Tarski, 1983. Metamathematische Methoden En der Geometrie. Springer-Verlag.
  • 51. 1986: 907–12. JSTOR 2273904. doi:10.2307/2273904.  Falta o |title= (Axuda)

[[Categoría:Xeometría elemental]] [[Categoría:Matemáticas]] [[Categoría:Lóxica matemática]]