Unión disxunta

Unión disxunta

Campo	Teoría de conxuntos
Enunciado simbólico	$$\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}$$

En matemáticas, a unión disxunta $A\sqcup B$ dos conxuntos A e B é o conxunto formado a partir dos elementos de A e B etiquetados (identificados) co nome do conxunto do que proceden. Así, un elemento pertencente tanto a A como B aparece dúas veces na unión disxunta, con dúas etiquetas diferentes.

Unha unión disxunta dunha familia indexada de conxuntos $(A_{i}:i\in I)$ é un conxunto $A,$ moitas veces denotado por ${\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i},}$ cunha inxección de cada $A_{i}$ en $A,$ de tal xeito que as imaxes destas inxeccións forman unha partición de $A$ (é dicir, cada elemento de $A$ pertence exactamente a unha destas imaxes). Unha unión disxunta dunha familia de conxuntos disxuntos por pares é a súa unión.

Na teoría de categorías, a unión disxunta é o coproduto da categoría de conxuntos, e así se define ata unha bixección. Neste contexto, a notación ${\textstyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$ úsase a miúdo.

Exemplo

Considere os conxuntos $A_{0}=\{5,6,7\}$ e $A_{1}=\{5,6\}.$ É posíbel indexar os elementos do conxunto segundo a orixe do conxunto formando os conxuntos asociados

${\begin{aligned}A_{0}^{*}&=\{(5,0),(6,0),(7,0)\}\\A_{1}^{*}&=\{(5,1),(6,1)\},\\\end{aligned}}$

onde o segundo elemento de cada par coincide co subíndice do conxunto de orixe (por exemplo, o $0$ en $(5,0)$ coincide co subíndice en $A_{0},$ etc.). A unión disxunta $A_{0}\sqcup A_{1}$ entón pódese calcular do seguinte xeito: $$A_{0}\sqcup A_{1}=A_{0}^{*}\cup A_{1}^{*}=\{(5,0),(6,0),(7,0),(5,1),(6,1)\}.$$

Definición na teoría de conxuntos

Formalmente, sexa $\left(A_{i}:i\in I\right)$ unha familia indexada de conxuntos indexados por $I.$ A unión disxunta desta familia é o conxunto $$\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.$$ Os elementos da unión disxunta son pares ordenados $(x,i).$ Aquí $i$ serve de índice auxiliar que de que $A_{i}$ veu o elemento $x$.

Cada un dos conxuntos $A_{i}$ é canonicamente isomorfo ao conxunto $$A_{i}^{*}=\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.$$A través deste isomorfismo, pódese considerar que $A_{i}$ está canonicamente mergullado na unión disxunta. Para $i\neq j,$ os conxuntos $A_{i}^{*}$ e $A_{j}^{*}$ son disxuntas aínda que os conxuntos $A_{i}$ e $A_{j}$ non son.

No caso extremo en que cada un dos $A_{i}$ é igual a algún conxunto fixo $A$ para todo $i\in I,$ a unión disxunta é o produto cartesiano de $A$ e $I$: $$\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.$$

Véxase tamén

Outros artigos

• Coproduto
• Límite directo
• Intersección (conxuntos) – elementos comúns en varios conxuntos
• Partición dun conxunto – división dun conxunto en subconxuntos disxuntos non baleiros
• Diferenza simétrica
• Unión (conxuntos) – operación en teoría de conxuntos

Ligazóns externas

• Lang, Serge (2004). Algebra. Graduate Texts in Mathematics 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.). New York: Springer-Verlag. p. 60. ISBN 978-0-387-95385-4. 
• Weisstein, Eric W. "Disjoint Union". MathWorld.