Test M de Weierstrass

En matemáticas, o test M de Weierstrass é un test para determinar se unha serie infinita de funcións converxen de forma uniforme e absoluta. Aplícase a series cuxos termos son funcións limitadas con valores reais ou complexos, e é análogo ao test de comparación para determinar a converxencia de series de números reais ou complexos. Leva o nome do matemático alemán Karl Weierstrass (1815–1897).

Enunciado

Test M de Weierstrass. Supoña que (f_n) é unha sucesión de funcións de valores reais ou complexos definidas nun conxunto A, e que hai unha sucesión de números non negativos (M_n) que satisfai as condicións

• $|f_{n}(x)|\leq M_{n}$ para todos os $n\geq 1$ e todo $x\in A$.
• $\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ converxe.

Daquela a serie

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$

converxe absoluta e uniformemente en A.

Unha serie que satisfai a hipótese chámase normalmente converxente. O resultado úsase a miúdo en combinación co teorema do límite uniforme. Xuntos din que se, a maiores das condicións anteriores, o conxunto A é un espazo topolóxico e as funcións f_n son continuas en A, entón a serie converxe a unha función continua.

Proba

Considere a sucesión de sumas parciais de funcións

$S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x).$

Posto que a serie $\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ converxe e M_n ≥ 0 para todo n, entón polo criterio de Cauchy,

$\forall \varepsilon >0:\exists N:\forall m>n>N:\sum _{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon .$

Para o N escollido,

$\forall x\in A:\forall m>n>N$

$\left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{m}f_{k}(x)\right|{\overset {(1)}{\leq }}\sum _{k=n+1}^{m}|f_{k}(x)|\leq \sum _{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon .$

(A desigualdade (1) dedúcese da desigualdade do triángulo).

A sucesión S_n(x) é así unha secuencia de Cauchy en R ou C, e por completude converxe a algún número S(x) que depende de x. Para n > N podemos escribir

$\left|S(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\lim _{m\to \infty }S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\lim _{m\to \infty }\left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|\leq \varepsilon .$

Dado que N non depende de x, isto significa que a secuencia S_n de sumas parciais converxe uniformemente á función S. De aí, por definición, a serie $\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)$ converxe uniformemente.

De xeito análogo, pódese probar que $\sum _{k=1}^{\infty }|f_{k}(x)|$ converxe uniformemente.

Exemplo

Sexa $0<\alpha <1$ un número real, entón a función de Weierstrass: $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n\alpha }e^{i2^{n}x}$, continua en todas as partes, mais non é diferenciábel en lugar ningún.

A continuidade desta función pódese probar co test M de Weierstrass. É certo que : $\left|2^{-n\alpha }e^{i2^{n}x}\right|=2^{-n\alpha }$ así como:

$\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2^{\alpha }}}\right)^{n}={\frac {1}{1-2^{-\alpha }}}<\infty$

converxe uniformemente segundo o test M de Weierstrass.

As sumas parciais individuais forman agora unha secuencia de funcións continuas que converxen uniformemente a $f$. Así, $f$ é continua como tal límite.

Xeneralización

Unha versión máis xeral do test M de Weierstrass cúmprese se o codominio común das funcións (f_n) é un espazo de Banach, nese caso a premisa

$|f_{n}(x)|\leq M_{n}$

debe ser substituído por

$\|f_{n}(x)\|\leq M_{n}$,

onde $\|\cdot \|$ é a norma no espazo de Banach. Para un exemplo do uso desta proba nun espazo de Banach, consulte o artigo Derivada de Fréchet.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Rudin Walter Functional Analysis
• Rudin, Walter (May 1986). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054234-1. 
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. 
• Whittaker, E.T.; Watson, G.N. (1927). A Course in Modern Analysis (Fourth ed.). Cambridge University Press. p. 49. 

Outros artigos

• Serie converxente
• Test de condensación de Cauchy