Teorema dos ceros de Hilbert

En matemáticas, o teorema dos ceros de Hilbert (ou Nullstellensatz de Hilbert) é un teorema que estabelece unha relación fundamental entre xeometría e álxebra.

Esta relación é a base da xeometría alxébrica. Relaciona conxuntos alxébricos cos ideais en aneis polinómicos sobre corpos alxebraicamente pechados.

Esta relación foi descuberta por David Hilbert, quen probou o Nullstellensatz no seu segundo artigo importante sobre a teoría invariante en 1893 (seguindo o seu artigo fundamental de 1890 no que demostrou o teorema da base de Hilbert).

Formulación

Sexa $k$ un corpo (como os números racionais) e $K$ unha extensión de corpo alxebricamente pechada de $k$ (como os números complexos). Considere o anel polinómico $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ e sexa $I$ un ideal neste anel. O conxunto alxébrico $\mathrm {V} (I)$ definido por este ideal consta de todas as $n$ -tuplas $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})$ en $K^{n}$ tal que $f(x)=0$ para todas as $f$ en $I$ . O Nullstellensatz de Hilbert afirma que se p é algún polinomio en $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ que desaparece no conxunto alxébrico $\mathrm {V} (I)$ , isto é, $p(\mathbf {x} )=0$ para todo $\mathbf {x}$ en $\mathrm {V} (I)$ , entón existe un número natural $r$ tal que $p^{r}$ está en $I$ .^[1]

Un corolario inmediato é o Nullstellensatz débil: O ideal $I\subseteq k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ contén 1 (ideal da unidade, todo o ideal é xerado por 1) se e só se os polinomios en $I$ non teñen ningún cero común en Kⁿ. Especializado para o caso $k=K=\mathbb {C} ,n=1$ , recuperase inmediatamente unha reformulación do teorema fundamental da álxebra: un polinomio P in $\mathbb {C} [X]$ ten raíces en $\mathbb {C}$ se e só se graos P ≠ 0.

Por esta razón, o (débil) Nullstellensatz foi referido como unha xeneralización do teorema fundamental da álxebra para polinomios multivariábeis.^[2] O Nullstellensatz débil tamén se pode formular do seguinte xeito: se I é un ideal propio en $k[X_{1},\ldots ,X_{n}],$ entón V( I ) non pode estar baleiro, é dicir, existe un cero común para todos os polinomios do ideal en cada extensión alxebricamente pechada de k. Esta é a razón para o nome do teorema.

A suposición de considerar ceros comúns nun corpo alxebricamente pechado é esencial aquí; por exemplo, os elementos do ideal propio (X² + 1) en $\mathbb {R} [X]$ non teñen un cero común en $\mathbb {R} .$

Coa notación común na xeometría alxébrica, o Nullstellensatz tamén se pode formular como

{\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}

para todo ideal J. Aquí, ${\sqrt {J}}$ denota o radical de J e I( U) é o ideal de todos os polinomios que esvaecen (fanse cero) no conxunto U.

Deste xeito, tomando $k=K$ obtemos unha correspondencia bixectiva inversora de orde entre os conxuntos alxébricos en Kⁿ e os ideais radicais de $K[X_{1},\ldots ,X_{n}].$

De feito, de xeito máis xeral, hai unha conexión de Galois entre subconxuntos do espazo e subconxuntos da álxebra, onde o "peche de Zariski" e o "radical do ideal xerado" son os operadores de pechamento.

Como exemplo particular, considere un punto $P=(a_{1},\dots ,a_{n})\in K^{n}$ . Entón $I(P)=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})$ . De forma máis xeral,

{\sqrt {I}}=\bigcap _{(a_{1},\dots ,a_{n})\in V(I)}(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}).

E viceversa, todo ideal máximal do anel polinómico $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ (nótese que $K$ está pechado alxebricamente) é da forma $(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})$ para algúns $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ .

Como outro exemplo, un subconxunto alxébrico W en K ⁿ é irredutíbel (na topoloxía de Zariski) se e só se $I(W)$ é un ideal primo.

Probas

Hai moitas demostracións coñecidas do teorema. Algunhas son non construtivas. Outras son construtivas, xa que se basean en algoritmos para expresar $1$ ou $p r$ como unha combinación linear dos xeradores do ideal.

Usando resultantes

A seguinte proba construtiva da forma débil é unha das probas máis antigas (a forma forte resulta do truco de Rabinowitsch, que tamén é construtivo).

A resultante de dous polinomios que dependen dunha variábel $x$ e doutras variábeis é un polinomio nas outras variábeis que está no ideal xerado polos dous polinomios, e ten as seguintes propiedades: se un dos polinomios é mónico en $x$ , todo cero (nas outras variábeis) da resultante pode estenderse nun cero común dos dous polinomios.

A proba é a seguinte.

Se o ideal é principal, xerado por un polinomio $p$ non constante que depende de $x$ , escóllense valores arbitrarios para as outras variábeis. O teorema fundamental da álxebra afirma que esta elección pódese estender a un cero de $p$ .

No caso de varios polinomios $p_{1},\ldots ,p_{n},$ un cambio linear de variábeis permite supor que $p_{1}$ é mónico na primeira variábel $x$ . Logo, agora temos $n-1$ novas variábeis $u_{2},\ldots ,u_{n},$ e consideramos a resultante

R=\operatorname {Res} _{x}(p_{1},u_{2}p_{2}+\cdots +u_{n}p_{n}).

Como $R$ está no ideal xerado por $p_{1},\ldots ,p_{n},$ o mesmo ocorre cos coeficientes en $R$ dos monomios en $u_{2},\ldots ,u_{n}.$ Entón, se $1$ está no ideal xerado por estes coeficientes, tamén está no ideal xerado por $p_{1},\ldots ,p_{n}.$ Por outra banda, se estes coeficientes teñen un cero común, este cero pódese ampliar a un cero común de $p_{1},\ldots ,p_{n},$ pola propiedade anterior da resultante.

Isto proba o Nullstellensatz débil por indución sobre o número de variábeis.

Xeneralizacións

O Nullstellensatz está subsumido por un desenvolvemento sistemático da teoría dos aneis de Jacobson, que son aqueles aneis nos que todo ideal radical é unha intersección de ideais máximais. Tendo en conta o lema de Zariski, probar o Nullstellensatz equivale a mostrar que se k é un corpo, entón toda k -álxebra R xerada finitamente (necesariamente da forma ${\textstyle R=k[t_{1},\cdots ,t_{n}]/I}$ ) é de Jacobson. De forma máis xeral, temos o seguinte teorema:

Sexa

R

un anel de Jacobson. Se

S

é unha R-álxebra finitamente xerada, entón

S

é un anel de Jacobson. A maiores, se

{\mathfrak {n}}\subseteq S

é un ideal maximal, entón

{\mathfrak {m}}:={\mathfrak {n}}\cap R

é un ideal maximal de

{\textstyle R}

, e

S/{\mathfrak {n}}

é unha extensión finita de

R/{\mathfrak {m}}

.^[3]

Nullstellensatz efectivo

En todas as súas variantes, o Nullstellensatz de Hilbert afirma que algún polinomio $g$ pertence ou non a un ideal xerado, por exemplo, por $f 1, ..., f k$ ; temos $g = f r$ na versión forte, $g = 1$ na forma débil. Isto significa a existencia ou a inexistencia de polinomios $g 1, ..., g k$ tal que $g = f 1 g 1 + ... + f k g k$ $g = f 1 g 1 + ... + f k g k$ . As probas habituais do Nullstellensatz non son construtivas, son non efectivas, no sentido de que non dan forma de calcular o $g i$ .

Polo tanto, é unha pregunta bastante natural preguntarse se hai un xeito eficaz de calcular o $g i$ (e o expoñente $r$ na forma forte) ou de demostrar que non existen.

Para resolver este problema, abonda con proporcionar un límite superior sobre o grao total do $g i$ : tal límite reduce o problema a un sistema finito de ecuacións lineares que poden resolverse mediante técnicas habituais de álxebra linear. Calquera límite superior deste tipo chámase Nullstellensatz efectivo.

Un problema relacionado é o problema de pertenza dun ideal, que consiste en comprobar se un polinomio pertence a un ideal. Para este problema tamén, unha solución é proporcionada por un límite superior no grao do $g i$ . Unha solución xeral do problema de pertenza dun ideal proporciona un Nullstellensatz efectivo, polo menos para a forma débil.

En 1925, Grete Hermann deu un límite superior para o problema de pertenza dun ideal que é dobremente exponencial no número de variábeis. En 1982 Mayr e Meyer deron un exemplo onde os $g i$ teñen un grao que é polo menos dobre exponencial, mostrando que cada límite superior xeral para o problema de pertenza do ideal é dobremente exponencial no número de variábeis.

Notas

↑ Zariski–Samuel.
↑ Cox, David A.; Little, John; O’Shea, Donal (2015). Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (en inglés). Cham: Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-16720-6. doi:10.1007/978-3-319-16721-3.
↑ Emerton, Matthew. "Jacobson rings" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2022-07-25.

Véxase tamén

Bibliografía

Almira, Jose María (2007). "Nullstellensatz revisited" (PDF). Rend. Semin. Mat. Univ. Politec. Torino 65 (3): 365–369.
Atiyah, M.F.; Macdonald, I.G. (1994). Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley. ISBN 0-201-40751-5.
Eisenbud, David (1999). Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics 150. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94268-1.
Modelo:Hartshorne AG
Hilbert, David (1893). "Ueber die vollen Invariantensysteme". Mathematische Annalen 42 (3): 313–373. doi:10.1007/BF01444162.
Huybrechts, Daniel (2005). Complex Geometry: An Introduction. Springer. ISBN 3-540-21290-6.
Mukai, Shigeru (2003). An Introduction to Invariants and Moduli. Cambridge studies in advanced mathematics 81. William Oxbury (trans.). p. 82. ISBN 0-521-80906-1.
Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1960). Commutative algebra. Volume II. Berlin. ISBN 978-3-662-27753-9.

Outros artigos

[1] Zariski–Samuel.

[2] Cox, David A.; Little, John; O’Shea, Donal (2015). Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (en inglés). Cham: Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-16720-6. doi:10.1007/978-3-319-16721-3.

[3] Emerton, Matthew. "Jacobson rings" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2022-07-25.

[1]

[2]

[3]