Teorema do punto fixo de Brouwer

Teorema do punto fixo de Brouwer
Instancia de teorema do punto fixo teorema
Epónimo Luitzen Brouwer
Parte de lista de teoremas
Identificadores
MathWorld	BrouwerFixedPointTheorem
OpenAlex	C146147875
Wikidata C:Commons

O teorema do punto fixo de Brouwer é un teorema de punto fixo en topoloxía, nomeado na honra de L. E. J. (Bertus) Brouwer. O teorema establece que para calquera función continua $f$ que envíe un conxunto compacto convexo non baleiro en si mesmo, hai $x_{0}$ un punto tal que $f(x_{0})=x_{0}$. As formas máis sinxelas do teorema de Brouwer son para funcións continuas $f$ desde un intervalo pechado $I$ nos números reais a el mesmo ou desde un disco pechado $D$ a el mesmo. Unha forma máis xeral que a anterior é para funcións continuas desde un subconxunto compacto convexo $K$ non baleiro do espazo euclidiano nel mesmo.

Entre centos de teoremas de punto fixo, o de Brouwer é particularmente ben coñecido, debido en parte ao seu uso en numerosos campos das matemáticas. No seu campo orixinal, este resultado é un dos teoremas chave que caracterizan a topoloxía deos espazos Euclideanos, xunto co Teorema da curva de Jordan, o teorema da bóla peluda, o Teorema de invarianza da dimensión e o [teorema de Borsuk–Ulam. Isto dálle un lugar entre os teoremas fundamentais da topoloxía. O teorema úsase tamén para probar resultados profundos sobre ecuacións diferenciais e é tratado na maioría dos cursos introductorios en xeometría diferencial. Aparece en campos tan improbábeis como a teoría de xogos. En economía, o teorema do punto fixo de Brouwer e a súa extensión, o teorema do punto fixo de Kakutani, xoga un papel central na proba de existencia dun equilibrio xeral nas economías de mercado, desenvolvida nos anos de 1950 polos gañadores do premio Nobel de economía Kenneth Frecha e Gérard Debreu.

O teorema foi estudado por primeira vez en relación co traballo en ecuacións diferenciais polos matemáticos franceses ao redor de Henri Poincaré e Charles Émile Picard. A demostración de resultados como o teorema de Poincaré–Bendixson require o uso de métodos topolóxicos. Este traballo a finais do século 19.º derivou en varias versións sucesivas do teorema. O caso das aplicacións diferenciabeis da bóla pechada n-dimensional foi probado primeiro en 1910 por Jacques Hadamard e o caso xeral para aplicacións continuas por Brouwer en 1911.

Enunciado

O teorema ten varias formulacións, dependendo do contexto no cal é utilizado e o seu grao de xeneralización. O máis sinxelo é ás veces dado como segue:

No plano

toda función continua desde un disco pechado en si mesmo ten polo menos un punto fixo.

Isto pode ser xeneralizado a unha dimensión finita arbitraria:

No espazo Euclideano

Toda función continua desde unha bóla pechada dun espazo Euclideano en si mesma ten un punto fixo.

Unversión lixeiramente máis xeral é a segunte:

Nun Conxunto compacto convexo,

Toda función continua desde un subconxunto compacto convexo non baleiro K dun espazo Euclidean no mesmo K ten un punto fixo.

Unha forma máis xeral é máis coñecida cun nome diferente:

Teorema do Punto fixo deSchauder

Toda función continua desde un subconxunto compacto convexo Knon baleiro dun espazo de Banach ao mesmo K ten un punto fixo.

Importancia das hipóteses

O teorema cúmprese únicmente para funcións que son endomorfismos (funcións que teñen o mesmo conxunto como dominio e codominio) e para conxuntos non baleiros que son compactos (por tanto, en particular, pechados e acoutados) e convexos (ou homeomorfos a un convexo). Os exemplos seguintes mostran por que estas condicións son importantes.

A función f como un endomorfismo

Consideremos a función

$f(x)=x+1$

con dominio [-1,1]. A imaxe da función é [0,2]. Así, f non é un endomorfismo.

Acoutamento

Consideremos a función

$f(x)=x+1,$

que é unha función continua desde $\mathbb {R}$ a si mesmo. Como move cada punto á dereita, non pode ter un punto fixo. O espazo $\mathbb {R}$ é convexo e pechado, mais non acoutado.

Carácter pechado

Consideremos a función

$f(x)={\frac {x+1}{2}},$

que é unha función continua desde o intervalo aberto $(-1,1)$ a el mesmo. Xa que o punto $x=1$ non está no intervalo, non hai ningún punto no dominio tal que $f(x)=x$. O conxunto $(-1,1)$ é convexo e acoutado, mais non pechado. Doutra banda, a función $f$ ten un punto fixo no intervalo pechado $[-1,1]$, especialmente $x=1$. O intervalo pechado $[-1,1]$ é compacto, o intervalo aberto $(-1,1)$ non o é.

Convexidade

A convexidade non é estritamente necesaria para o teorema do punto fixo de Brouwer. Posto que as propiedades implicadas (continuidade, ser un punto fixo) son invariantes baixo homeomofismos, o teorema do punto fixo de Brouwer é equivalente a formas nas que ao dominio se lle pide que sexa unha bóla unidade pechada$D^{n}$. Pola mesma razón cúmprese para calquera conxunto homeomorfo a unha bóla pechada (e por tanto tamén pechada, acoutada, conexa, sen buracos, etc.).

O seguinte exemplo mostra que o teorema do punto fixo deBrouwer non é certo para dominios con buracos. Consideremos a función $f(x)=-x$, que é unha función continua desde a circunferencia unidade en si mesma. Como x≠x cúmprese para calquera punto da circunferencia unidade, f non ten puntos fixos. O exemplo análogo funciona para a esfera n-dimensional (ou calquera dominio simétrico que non conteña a orixe). A circunferencia unidade é pechada e acoutada, mais ten un buraco (e por tanto non é convexa). A función f ten un punto fixo para o disco unidade, xa que leva a orixe en si mesma.

Unha xeneralización formal do teorema do punto fixo de Brouwer para dominios "sen buracos" pódese derivar do teorema do punto fixo de Lefschetz .

Ilustracións

O teorema ten varias ilustracións no "mundo real". Aquí van algúns exemplos:

1. Colle dúas follas de papel milimetrado do mesmo tamaño con sistemas de coordenadas neles, coloca unha estendida sobre a mesa e engurra (sen rasgar nin romper) a outra, poñéndoa de calquera xeito enriba da primeira de maneira que o papel engurrado non sobresae da folla plana. Haberá entón polo menos un punto da folla engurrada que quede xusto enriba do seu punto correspondente (é dicir, o punto coas mesmas coordenadas) da folla plana. Isto é unha consecuencia do caso n = 2 do teorema de Brouwer aplicado á aplicación continua que asigna ás coordenadas de cada punto da folla engurrada as coordenadas do punto da folla plana situado inmediatamente debaixo.
2. Colle un mapa ordinario dun país, e supón que ese mapa se coloca sobre unha mesa dentro dese mesmo país. Sempre existirá un punto do mapa de tipo "Vostede está aquí" que represente ese mesmo punto no país.
3. En tres dimensións, unha consecuencia do teorema do punto fixo de Brouwer é que, por moito que se remexa un cóctel delicioso nun vaso (ou se pense nun batido), cando o líquido queda en repouso, existirá algún punto do líquido que quede exactamente no mesmo lugar do vaso que antes de remexelo, sempre que a posición final de cada punto sexa unha función continua da súa posición orixinal, que o líquido despois de remexido siga estando contido no espazo que ocupaba orixinariamente, e que o vaso (e a forma da superficie remexida) manteñan un volume convexo. Pedir un cóctel axitado, non remexido rompe a condición de convexidade (xa que o "axitar" se define como unha serie dinámica de estados non convexos de contención inercial no espazo baleiro baixo unha tapa). Nese caso, o teorema non se aplica, e así todos os puntos da disposición do líquido poderían desprazarse con respecto ao estado orixinal. ^{[Cómpre referencia]}

Enfoque intuitivo

Explicacións atribuídas a Brouwer

O teorema dise que tivo a súa orixe nunha observación de Brouwer ao preparar unha cunca de café gourmet. Ao remexer o café para disolver un terrón de azucre, semella que sempre hai un punto da superficie que permanece inmóbil. Brouwer tirou a conclusión de que, en calquera momento, hai un punto na superficie que non se move. O punto fixo non é necesariamente o punto que parece inmóbil, xa que o centro da turbulencia pode moverse un pouco. O resultado non é intuitivo, xa que o punto fixo orixinal pode chegar a desprazarse cando aparece outro punto fixo.

Segundo se di, Brouwer engadiu: "Podo formular este resultado espléndido doutra maneira: tomo unha folla horizontal, e outra idéntica que engurro, estiro e coloco enriba da primeira. Entón hai algún punto da folla engurrada que coincide co seu lugar na folla base." Brouwer "alisa" a folla como cun ferro quente, sen eliminar os pregues e engurras. Ao contrario que no exemplo da cunca de café, o exemplo do papel engurrado tamén demostra que poden existir múltiples puntos fixos. Isto distingue o resultado de Brouwer doutros teoremas de punto fixo, como o de Stefan Banach, que garanten a unicidade.

Caso unidimensional

En dimensión un, o resultado é intuitivo e fácil de demostrar. A función continua f está definida nun intervalo pechado [a, b] e toma valores no mesmo intervalo. Dicir que esta función ten un punto fixo equivale a dicir que a súa gráfica (verde escuro na figura da dereita) interseca coa da función definida no mesmo intervalo [a, b] que leva x en x (verde claro).

De maneira intuitiva, calquera liña continua que vaia do bordo esquerdo ao bordo dereito do cadrado debe necesariamente cortar a diagonal verde. Para demostralo, considérase a función g definida como g(x) = f(x) − x. Esta é ≥ 0 en a e ≤ 0 en b. Polo teorema do valor intermedio, g ten unha raíz no intervalo [a, b]; esa raíz é un punto fixo.

Segundo se conta, Brouwer expresouno do seguinte xeito: "No canto de examinar unha superficie, imos demostrar o teorema cun anaco de cordel. Comecemos co cordel estendido, e despois dobrámolo de novo. Aplanemos agora o cordel dobrado. Haberá algún punto do cordel que non mudou a súa posición respecto da que tiña no cordel estendido."

Historia

O teorema do punto fixo de Brouwer foi un dos primeiros logros da topoloxía alxébrica, e constitúe a base doutros teoremas do punto fixo máis xerais que son fundamentais na análise funcional.

O caso n = 3 foi demostrado por primeira vez por Piers Bohl en 1904 (publicado no Journal für die reine und angewandte Mathematik).

Posteriormente, L. E. J. Brouwer demostrou o resultado en 1909. Jacques Hadamard probou o caso xeral en 1910, e o propio Brouwer atopou unha demostración diferente ese mesmo ano.

Como todas estas demostracións iniciais eran indirectas e de tipo non construtivo, ían en contra dos ideais intuicionistas do propio Brouwer.

Aínda que a existencia dun punto fixo segundo este teorema non é construtiva no sentido do construtivismo en matemáticas, actualmente coñécense métodos para aproximar os puntos fixos cuxa existencia garante o teorema de Brouwer.

Antes do descubrimento

Para fluxos nunha zona non acoutada, ou nunha rexión con "buratos", o teorema non é aplicable.

O teorema aplícase a calquera rexión con forma de disco, na que garante a existencia dun punto fixo.

A finais do século XIX, o antigo problema da estabilidade do sistema solar volveu centrar o interese da comunidade matemática.

A súa resolución requiría novos métodos. Tal como sinalou Henri Poincaré, que traballaba no problema dos tres corpos, non hai esperanza de atopar unha solución exacta: «Nada é máis adecuado para darnos unha idea da dificultade do problema dos tres corpos, e en xeral de todos os problemas da Dinámica onde non hai integral uniforme e as series de Bohlin diverxen.» Tamén advertiu que buscar unha solución aproximada tampouco era eficaz: «Canto máis tentamos obter aproximacións precisas, máis o resultado diverxe cara a unha imprecisión crecente.»

Estudou unha cuestión análoga á do movemento da superficie nunha cunca de café: que se pode dicir, en xeral, sobre as traxectorias nunha superficie animada por un fluxo constante? Poincaré descubriu que a resposta se encontra nas propiedades topolóxicas da rexión que contén a traxectoria. Se esa rexión é compacta, é dicir, pechada e acoutada, entón a traxectoria ou ben queda estacionaria, ou ben se achega a un ciclo límite. Poincaré foi máis alá: se a rexión é homotópica a un disco —como ocorre cunha cunca de café—, entón debe existir necesariamente un punto fixo. Ese punto é invariante respecto de todas as funcións que asocian a cada punto da superficie a súa posición tras un pequeno intervalo de tempo t. Se a rexión ten forma de coroa circular, ou se non está pechada, entón iso xa non se garante.

Para entender mellor as ecuacións diferenciais, naceu unha nova rama das matemáticas. Poincaré chamouna analysis situs. A Encyclopædia Universalis definea como a disciplina que «estuda as propiedades dun obxecto que permanecen invariantes cando se deforma de forma continua, sen rasgar». En 1886, Poincaré probou un resultado equivalente ao teorema do punto fixo de Brouwer, aínda que a conexión co tema do presente artigo aínda non era evidente.

Pouco despois, desenvolveu unha das ferramentas fundamentais para comprender mellor a analysis situs, coñecida hoxe como grupo fundamental ou, ás veces, grupo de Poincaré. Este método pode utilizarse para dar unha demostración moi concisa do teorema aquí tratado.

O método de Poincaré era análogo ao do seu contemporáneo Émile Picard, quen xeneralizou o teorema de Cauchy–Lipschitz. O enfoque de Picard baséase nun resultado que máis adiante sería formalizado por outro teorema de punto fixo, o que leva o nome de Stefan Banach. Ao contrario que o de Brouwer, este teorema baséase na existencia dunha aplicación contractiva e non nas propiedades topolóxicas do dominio.

Primeiras demostracións

A comezos do século XX, o interese pola analysis situs non pasou desapercibido. Porén, a necesidade dun teorema equivalente ao tratado neste artigo aínda non era evidente. O matemático letón Piers Bohl aplicou métodos topolóxicos ao estudo das ecuacións diferenciais. En 1904 demostrou o caso tridimensional do teorema, mais a súa publicación pasou inadvertida.

Foi finalmente Brouwer quen lle deu ao teorema a súa primeira carta de nobreza. Os seus obxectivos eran distintos dos de Poincaré: Brouwer inspirábase nos fundamentos das matemáticas, especialmente na lóxica matemática e na topoloxía. O seu interese inicial centrárase nun intento de resolver o quinto problema de Hilbert.

En 1909, durante unha viaxe a París, Brouwer coñeceu a Henri Poincaré, Jacques Hadamard e Émile Borel. As discusións que seguiron convencérono da importancia de comprender mellor os espazos euclidianos, e deron lugar a un frutífero intercambio de cartas con Hadamard. Durante os seguintes catro anos, Brouwer concentrouse na demostración de certos grandes teoremas sobre esta cuestión. En 1912 demostrou o teorema do ourizo para a esfera bidimensional, así como o feito de que toda aplicación continua da bóla bidimensional sobre si mesma ten un punto fixo.

Estes dous resultados non eran, en si mesmos, realmente novos. Como observou Hadamard, Poincaré xa demostrara un teorema equivalente ao do ourizo.

O aspecto revolucionario do enfoque de Brouwer foi o uso sistemático de ferramentas desenvolvidas recentemente, como a homotopía, concepto subxacente ao grupo de Poincaré. Ao ano seguinte, Hadamard xeralizou o teorema a dimensións finitas arbitrarias, aínda que empregando métodos diferentes. Hans Freudenthal comentou os respectivos roles coas seguintes palabras (tradución non literal do francés): «Comparados cos métodos revolucionarios de Brouwer, os de Hadamard eran moi tradicionais, mais a participación de Hadamard no nacemento das ideas de Brouwer aseméllase máis á dunha comadroa que á dun simple espectador.»

O enfoque de Brouwer deu os seus froitos, e en 1910 atopou tamén unha demostración válida para dimensións finitas arbitrarias, así como outros teoremas fundamentais, como a invariancia da dimensión. No contexto destes traballos, Brouwer tamén xeralizou o teorema da curva de Jordan a dimensións arbitrarias e estableceu as propiedades asociadas ao grao dunha aplicación continua.

Esta rama das matemáticas, inicialmente imaxinada por Poincaré e desenvolvida por Brouwer, cambiou de nome: nos anos 1930, a analysis situs pasou a chamarse topoloxía alxébrica.

Recibimento

John Nash empregou o teorema na teoría de xogos para demostrar a existencia dun perfil de estratexia en equilibrio.

O teorema demostrou o seu valor de múltiples formas. Ao longo do século XX desenvolvéronse numerosos teoremas de punto fixo, ata o punto de nacer unha nova rama das matemáticas chamada teoría do punto fixo.

O teorema de Brouwer é, probablemente, o máis importante de todos eles. É tamén un dos resultados fundamentais da topoloxía dos variedades topolóxicas, e úsase frecuentemente para demostrar outros teoremas importantes como o teorema da curva de Jordan.

Ademais dos teoremas de punto fixo para funcións máis ou menos contractivas, hai moitos outros que xurdiron directa ou indirectamente do resultado de Brouwer. Por exemplo, unha aplicación continua dunha bóla pechada do espazo euclidiano na súa fronteira non pode ser a identidade na fronteira. De forma semellante, o teorema de Borsuk–Ulam afirma que unha aplicación continua da esfera de dimensión n en $\mathbb {R} ^{n}$ leva sempre algún par de puntos antipodais ao mesmo punto.

No caso de dimensión finita, o teorema do punto fixo de Lefschetz, introducido en 1926, ofrece un método para contar puntos fixos. En 1930, o teorema de Brouwer foi xeneralizado a espazos de Banach por Juliusz Schauder esta xeneralización coñécese como o teorema do punto fixo de Schauder, e foi á súa vez xeneralizado por S. Kakutani para aplicacións multivaloradas:

O teorema tamén aparece fóra da topoloxía. Empregouse na demostración do teorema de Hartman–Grobman, que describe o comportamento cualitativo de certas ecuacións diferenciais preto de puntos de equilibrio. Así mesmo, aparece en demostracións do teorema central do límite, e tamén en probas de existencia de solucións de certas ecuacións diferenciais parciais.

Outros ámbitos tamén se viron influídos. En teoría de xogos, John Forbes Nash usou o teorema para demostrar que no xogo do Hex existe unha estratexia gañadora para o branco. En economía, P. Bich explica que certas xeneralizacións do teorema permiten aplicalo a problemas clásicos da teoría de xogos e, en xeral, aos equilibrios (como a lei de Hotelling), aos equilibrios financeiros e aos mercados incompletos.

A sona de Brouwer non se debe exclusivamente ao seu traballo en topoloxía. As súas demostracións dos grandes teoremas topolóxicos son non construtivas, e a súa insatisfacción con iso foi unha das razóns que o levaron a formular a idea de construtividade. Brouwer converteuse no creador e defensor apaixonado dun novo enfoque formal das matemáticas coñecido como intuicionismo, que na súa época se opuña á teoría de conxuntos. De feito, Brouwer renunciou á súa demostración orixinal do teorema do punto fixo.

Xeneralizacións

O teorema do punto fixo de Brouwer é o punto de partida de numerosos teoremas de punto fixo máis xerais.

A xeneralización máis inmediata a dimensións infinitas —é dicir, usando a bóla unitaria dun espazo de Hilbert arbitrario no canto dun espazo euclidiano— **non é válida**. O principal problema é que as bólas unitarias en espazos de Hilbert de dimensión infinita non son compactas.

Por exemplo, no espazo de Hilbert ℓ² das sucesións reais (ou complexas) cadrado-sumables, considérase a aplicación f : ℓ² → ℓ² que leva unha sucesión (xₙ) da bóla unitaria pechada de ℓ² na sucesión (yₙ) definida por:

$y_{0}={\sqrt {1-\|x\|_{2}^{2}}}\quad {\text{e}}\quad y_{n}=x_{n-1}{\text{ para }}n\geq 1.$

Non é difícil comprobar que esta aplicación é continua, que a súa imaxe está contida na esfera unitaria de ℓ², pero que **non ten punto fixo**.

As xeneralizacións do teorema de Brouwer a espazos de dimensión infinita inclúen, por tanto, algunha hipótese de **compacidade**, e moitas veces tamén de convexidade. Para unha análise máis detallada, véxase teoremas do punto fixo en espazos de dimensión infinita.

Tamén existe unha xeneralización en dimensión finita a unha clase máis ampla de espazos: se $X$ é un produto dun número finito de continua encadeables, entón toda aplicación continua $f\colon X\rightarrow X$ ten un punto fixo. Un continuo encadeable é un espazo compacto de Hausdorff (xeralmente, mais non necesariamente, un espazo métrico) no que todo recubrimento aberto admite un refinamento aberto finito $\{U_{1},\ldots ,U_{m}\}$ tal que $U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset$ se e só se $|i-j|\leq 1$. Exemplos deste tipo inclúen espazos compactos conexos con orde lineal, en particular os intervalos pechados de números reais.

O teorema do punto fixo de Kakutani xeneraliza o de Brouwer noutra dirección: permanece en $\mathbb {R} ^{n}$, mais considera aplicacións semi-continuas superiores multivaloradas (é dicir, funcións que asignan a cada punto un subconxunto do espazo). Este teorema tamén require que o dominio sexa compacto e convexo.

Finalmente, o teorema do punto fixo de Lefschetz aplícase a espazos topolóxicos compactos (case) arbitrarios, e proporciona unha condición —baseada na homoloxía singular— que garante a existencia de puntos fixos; esa condición cúmprese trivialmente para calquera aplicación no caso da bóla Dⁿ.

Véxase tamén

Bibliografía

• Boothby, William M. (1971). "On two classical theorems of algebraic topology". American Mathematical Monthly 78 (3): 237–249. JSTOR 2317520. MR 0283792. doi:10.2307/2317520. 
• Boothby, William M. (1986). An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. Pure and Applied Mathematics 120 (2ª ed.). Academic Press. ISBN 0-12-116052-1. MR 0861409. 
• Bredon, Glen E. (1993). Topology and Geometry. Graduate Texts in Mathematics 139. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3. MR 1224675. 
• Chow, Shui Nee; Mallet-Paret, John; Yorke, James A. (1978). "Finding zeroes of maps: Homotopy methods that are constructive with probability one". Mathematics of Computation 32 (143): 887–899. MR 0492046. doi:10.1090/S0025-5718-1978-0492046-9. 
• Dieudonné, Jean (1982). "8. Les théorèmes de Brouwer". Éléments d'analyse, vol. IX. Cahiers Scientifiques (en francés). París: Gauthier-Villars. pp. 44–47. ISBN 2-04-011499-8. MR 0658305. 
• Dieudonné, Jean (1989). A History of Algebraic and Differential Topology, 1900–1960. Birkhäuser. pp. 166–203. ISBN 0-8176-3388-X. MR 0995842. 
• Gale, D. (1979). "The Game of Hex and Brouwer Fixed-Point Theorem". American Mathematical Monthly 86 (10): 818–827. JSTOR 2320146. doi:10.2307/2320146. 
• Hirsch, Morris W. (1988). Differential Topology. Nova York: Springer. ISBN 978-0-387-90148-0.  (véxase páx. 72–73 para a demostración baseada na inexistencia dunha retracción diferenciable)
• Hilton, Peter J.; Wylie, Sean (1960). Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology. Nova York: Cambridge University Press. ISBN 0521094224. MR 0115161. 
• Istrăţescu, Vasile I. (1981). Fixed Point Theory. Mathematics and its Applications 7. Dordrecht–Boston, MA: D. Reidel. ISBN 978-90-277-1224-0. MR 0620639. 
• Karamardian, S., ed. (1977). Fixed Points: Algorithms and Applications. Academic Press. ISBN 978-0-12-398050-2. 
• Kellogg, R. Bruce; Li, Tien-Yien; Yorke, James A. (1976). "A constructive proof of the Brouwer fixed point theorem and computational results". SIAM Journal on Numerical Analysis 13 (4): 473–483. Bibcode:1976SJNA...13..473K. MR 0416010. doi:10.1137/0713041. 
• Kulpa, Władysław (1989). "An integral theorem and its applications to coincidence theorems". Acta Universitatis Carolinae. Mathematica et Physica 30 (2): 83–90. 
• Leoni, Giovanni (2017). A First Course in Sobolev Spaces: Second Edition. Graduate Studies in Mathematics 181. American Mathematical Society. p. 734. ISBN 978-1-4704-2921-8. 
• Madsen, Ib; Tornehave, Jørgen (1997). From Calculus to Cohomology: de Rham Cohomology and Characteristic Classes. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58059-5. MR 1454127. 
• Milnor, John W. (1965). Topology from the Differentiable Viewpoint. Charlottesville: University Press of Virginia. MR 0226651. 
• Milnor, John W. (1978). "Analytic proofs of the 'hairy ball theorem' and the Brouwer fixed-point theorem" (PDF). American Mathematical Monthly 85 (7): 521–524. JSTOR 2320860. MR 0505523. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2022-10-09. 
• Sobolev, Vladimir I. (2001) [1994]. "Teorema do punto fixo de Brouwer". Brouwer theorem. EMS Press. 
• Spanier, Edwin H. (1966). Algebraic Topology. Nova York–Toronto–Londres: McGraw-Hill.