Teorema de Stokes

Teorema de Stokes
Instancia de teorema  Parte de lista de teoremas  Epónimo George Stokes  Estudado por cálculo infinitesimal Cálculo vectorial
Fórmula $\iint _{S}(\nabla \times {\boldsymbol {F}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}=\int _{\partial S}{\boldsymbol {F}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}$ $S$ (superficie paramétrica) $\nabla \times {\boldsymbol {F}}$ (rotacional) $\iint _{S}{\boldsymbol {F}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}$ (integral de superficie dun campo vectorial) $\int _{\boldsymbol {c}}{\boldsymbol {F}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}$ (integral de liña dun campo vectorial) $\partial S$ (fronteira) ${\boldsymbol {F}}$ (campo vectorial)
Características  Representa a forma diferencial (pt)
Códigos e identificadores Freebase /m/07611 e /m/0kvk442 MathWorld StokesTheorem e CurlTheorem OpenAlex C198470675
Wikidata C:Commons

Unha ilustración do teorema de Stokes, cunha superficie Σ, a súa fronteira ∂Σ e o vector normal n. A dirección de circulación positiva do contorno ∂Σ, e a dirección n do fluxo positivo a través da superficie Σ, están relacionados pola regra da man dereita (é dicir, os dedos da man dereita circulan ao longo de ∂Σ e o polgar está dirixido cara a n).

O teorema de Stokes, tamén coñecido como teorema de Kelvin-Stokes após Lord Kelvin e George Stokes, teorema fundamental para rotacionais, ou sinxelamente teorema do rotacional, é un teorema do cálculo vectorial en $\mathbb {R} ^{3}$. Dado un campo vectorial, o teorema relaciona a integral do rotacional do campo vectorial sobre unha superficie, coa integral de liña do campo ao redor da fronteira da superficie. O teorema clásico de Stokes pode ser enunciado nunha frase:

A integral de liña dun campo vectorial sobre un lazo é igual á integral de superficie do seu rotacional sobre a superficie rodeada.

O teorema de Stokes é un caso especial do teorema de Stokes xeneralizado. En particular, un campo de vectores en $\mathbb {R} ^{3}$ pode ser considerado como unha 1-forma, deste xeito o seu rotacional é a derivada exterior, unha 2-forma.

Teorema

Sexa $\Sigma$ unha superficie diferenciable orientada en $\mathbb {R} ^{3}$ con fronteira $\partial \Sigma \equiv \Gamma$. Se un campo vectorial $\mathbf {F} (x,y,z)=(F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z))$ está definido e ten derivadas parciais de primeira orde continuas nunha rexión que contén a $\Sigma$, entón $$\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } .$$Máis explicitamente, a igualdade di que$${\begin{aligned}&\iint _{\Sigma }\left(\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right)\\&=\oint _{\partial \Sigma }{\Bigl (}F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z{\Bigr )}.\end{aligned}}$$

O principal desafío nun enunciado preciso do teorema de Stokes é definir a noción de fronteira. Superficies como o copo de neve de Koch, por exemplo, sábese que teñen unha fronteira que non é Riemann-integrable, e a noción de medida de superficie na teoría de Lebesgue non se pode definir para unha superficie non Lipschitziana. Unha técnica (avanzada) é pasar a unha formulación débil e aplicar a maquinaria de teoría de medida xeométrica; para esta aproximación ver o fórmula da coárea. Neste artigo, polo contrario, utilizamos unha definición máis elemental, baseada no feito de que os subconxuntos de dimensión máxima de $\mathbb {R} ^{2}$ teñen un bordo ben definido.

Daremos un enunciado máis detallado para discusións posteriores. Sexa ${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}} unha curva de Jordan diferenciable a anacos, é dicir, unha curva plana pechada e simple. O teorema da curva de Jordan implica que $\gamma$ divide $\mathbb {R} ^{2}$ en dous compoñentes, un compoñente compacto e outro que non o é. Denotemos por $D$ a parte compacta; entón $D$ está limitada por $\gamma$.

Agora abonda con transferir esta noción de bordo ao longo dunha aplicación continua á nosa superficie en $\mathbb {R} ^{3}$. Mais xa temos tal aplicación: a parametrización de $\Sigma$.

Sexa $\psi :D\to \mathbb {R} ^{3}$ diferenciable a anacos na veciñanza de $D$, con $\Sigma =\psi (D)$.

Se $\Gamma$ é a curva espacial definida por $\Gamma (t)=\psi (\gamma (t))$, entón chamamos a $\Gamma$ o bordo de $\Sigma$, que escribimos como $\partial \Sigma$.

Coa notación anterior, se $\mathbf {F}$ é calquera campo vectorial suave en $\mathbb {R} ^{3}$, entón

$$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {\Gamma } }\;=\;\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } .$$

Aquí, o "$\cdot$" representa o produto escalar en $\mathbb {R} ^{3}$.