Teorema de Pick

i = 7, b = 8, A = i + b/2 − 1 = 10

Secuencia de Farey de orde 6, con 1 punto interior (vermello) e 96 puntos fronteira (verde) que dan unha área de 1 + 96/2 − 1 = 48

Dado un polígono simple construído sobre unha cuadrícula de puntos equidistantes (é dicir, puntos con coordenadas enteiras) de tal xeito que todos os vértices do polígono son puntos da cuadrícula, o teorema de Pick proporciona unha fórmula sinxela para calcular a área A dese polígono en termos do número i de puntos interiores situados no polígono e o número b de puntos límite situados no perímetro do polígono:

$A=i+{\frac {b}{2}}-1.$

O teorema só é válido para polígonos simples, é dicir, aqueles que consisten nunha única "peza" e non conteñen "buratos".

Foi descrito en alemán a primeira vez polo austríaco Georg Alexander Pick en 1899, e popularizado en inglés por Hugo Steinhaus na edición de 1950 do seu libro Mathematical Snapshots.

Ten múltiples demostracións, e pódese xeneralizar a fórmulas para certos tipos de polígonos non simples.

Exemplo

O exemplo mostrado na figura superior na introdución, ten $i=7$ puntos interiores e $b=8$ puntos de fronteira, polo que a súa área é $A=7+{\tfrac {8}{2}}-1=10$ unidades cadradas.

Pódese comprobar con facilidade descompoñendo en 3 triángulos metidos en 3 rectangulos, o que vai desde o punto superior arriba-esquerda estendendo cara a dereita e cara abaixo (ocupa $3\times 3$ cadrados e por tanto ten por área ${\tfrac {9}{2}}$ ), o situado enriba deste estendido unha liña máis pola esquerda (ocupa $4\times 2$ cadrados e por tanto ten por área ${\tfrac {8}{2}}=4$), o que está na esquerda (ocupa $3\times 1$ cadrados e por tanto ten por área ${\tfrac {3}{2}}$), isto fai un total de ${\frac {9}{2}}+4+{\frac {3}{2}}=10$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Ram Murty, M.; Thain, Nithum (2007). "Pick's theorem via Minkowski's theorem". The American Mathematical Monthly 114 (8): 732–736. JSTOR 27642309. MR 2354443. doi:10.1080/00029890.2007.11920465. 

Ligazóns externas

• Bogomolny, Alex (1998) Theorem (Java) "Pick's Theorem" Cut-the-Knot (en inglés).