Teorema de Ceva

Teorema de Ceva, caso 1: as tres rectas concorren nun punto O dentro de △ABC

Teorema de Ceva, caso 2: as tres rectas concorren nun punto O fóra de △ABC

Na xeometría euclidiana, o teorema de Ceva é un resultado sobre os triángulos. Dado un triángulo △ABC, considéranse as rectas AO, BO, CO trazadas desde os vértices ata un punto común O (que non pertence a ningún dos lados de △ABC), de modo que cortan os lados opostos en D, E, F, respectivamente. (Os segmentos AD, BE, CF chámanse cevianas). Entón, empregando lonxitudes con signo dos segmentos:

${\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1.$

(a lonxitude XY considérase positiva ou negativa segundo que X estea á esquerda ou á dereita de Y, segundo unha orientación fixa da recta. Por exemplo, AF / FB é positiva se F está entre A e B, e negativa no caso contrario).

O teorema de Ceva pertence á xeometría afín, no sentido de que pode formularse e demostrarse sen empregar os conceptos de ángulos, áreas ou lonxitudes (agás para cocientes de lonxitudes de segmentos colineais). Por tanto, é válido para triángulos en calquera plano afín sobre calquera corpo.

Tamén é certa unha versión recíproca lixeiramente adaptada: se os puntos D, E, F se escollen sobre BC, AC, AB, respectivamente, de modo que

${\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1,$

entón as rectas AD, BE, CF son concorrentes, ou ben todas son paralelas. Esta recíproca adoita incluírse como parte do teorema.

O teorema atribúese habitualmente a Giovanni Ceva, que o publicou no seu traballo de 1678, De lineis rectis. Porén, xa fora demostrado moito antes por Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd, rei de Zaragoza no século XI.

As figuras asociadas dan lugar a varios termos derivados do nome de Ceva: ceviana (as rectas AD, BE, CF son as cevianas de O), triángulo ceviano (o triángulo △DEF é o triángulo ceviano de O); nacemento de cevianas, triángulo anticeviano, conxugado de Ceva. (Ceva pronúnciase /chéiva/; ceviana pronúnciase /cheviána/).

O teorema é moi semellante ao teorema de Menelao, pois as súas expresións difiren só no signo. Ao reescribilos en termos de razóns cruzadas, vese que son duais proxectivos.