Teorema de Cantor

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura

O teorema de Cantor é un resultado formalizable na teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel, que afirma o seguinte:

O conxunto potencia de calquera conxunto A ten unha cardinalidade estritamente maior cá cardinalidade do propio A.

Discusión[editar | editar a fonte]

O teorema de Cantor é obvio para conxuntos finitos: se un conxunto finito ten n elementos entón o conxunto de partes dese conxunto ten 2n elementos. O feito de que sexa válido para todo conxunto infinito non é de todo intuitivo, pero permite establecer varios resultados interesantes:

  • Existe unha infinidade de cardinais transfinitos, o que significa que en realidade existen moitos tipos de infinito (de feito unha infinidade), cada un maior que o anterior. Este resultado a priori é moi pouco intuitivo, pero tremendamente importante na fundamentación das matemáticas.
  • Non existe ningún xeito de enumerar todos os subconxuntos de .

Para ilustrar a validez deste teorema para conxuntos infinitos reprodúcese a continuación unha demostración.

Demostración[editar | editar a fonte]

Considérese unha función calquera ; demostrar o teorema de Cantor require probar que non é sobrexectiva e para probar que non é sobrexectiva abonda con atopar un subconxunto de que non sexa a imaxe de ningún elemento de a través de .

Cantor considerou un subconxunto particular definido como:

e probou que ese subconxunto non pode ser a imaxe de ningún elemento de .

O argumento que construíu Cantor é por redución ao absurdo presupondo que existe , posto que é un subconxunto de . Entón pódense distinguir dous casos:

  1. Se , entón pola definición de tense que , o que é contraditorio.
  2. Se , entón pola definición de tense que , o que é contraditorio.

En ambos os casos chégase a unha contradición, e polo tanto non existe esa e entón (que é unha función calquera) non é sobrexectiva, como se quería demostrar.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

  • Halmos, Paul, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nova York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.