Teorema das raíces racionais
En álxebra, o teorema das raíces racionais (ou test das raíces racionais, teorema dos ceros racionais, test dos ceros racionais ou teorema p/q) estabelece unha condición sobre as solucións racionais dunha ecuación polinomial
O teorema estabelece que se a0 e an son diferentes de cero, entón, cada solución racional x, cando é escrita como unha fracción irredutíbel x = p/q (isto é, en que o máximo común divisor de p e q é 1), satisfai:
- p é un factor enteiro do termo constante a0, e
- q é un factor enteiro do coeficiente dominante an.
O teorema das raíces racionais é un caso especial (para un único factor linear) do lema de Gauss sobre a factorización de polinomios. O teorema das raíces enteiras é un caso especial do teorema das raíces racionais se o coeficiente dominante an = 1.
Aplicación[editar | editar a fonte]
O teorema é usado para determinar se un polinomio ten algunha raíz racional e, en caso afirmativo, encontralas. Unha vez que o teorema impón que o numerador e o denominador de raíces racionais irredutíbeis sexan divisores de certos números, tódalas combinacións posíbeis de divisores poden ser verificadas e as raíces racionais serán atopadas, ou será determinado que non existen raíces racionais. Se unha ou máis raíces fosen atopadas, pódese factorizar ao polinomio, obtendo un polinomio de menor grao cuxas raíces tamén son raíces do polinomio orixinal.
Ecuación cúbica[editar | editar a fonte]
A ecuación cúbica xeral
Demostracións[editar | editar a fonte]
Primeira demostración[editar | editar a fonte]
Sexa
Multiplicamos ámbolos por , movemos o termo constante para o lado dereito, e evidente a existencia dun factor común no membro esquerdo:
Obsérvase que divide . Mais e son primos entre si e por tanto e tamén o son, entón polo lema de Euclides (na súa forma xeneralizada) debe dividir o factor restante do produto.
Se en vez diso, o termo dominante fose movido para a dereita e sacárase o factor q no lado esquerdo, obteríase
Demostración usando o lema de Gauss[editar | editar a fonte]
No caso de existir un factor non trivial dividindo tódolos coeficientes do polinomio, pódese dividir polo maior divisor común dos coeficientes, de modo a obter un polinomio primitivo no sentido do lema de Gauss; notamos que isto non altera o conxunto das raíces racionais e só reforza as condicións de divisibilidade. O lema di que se o polinomio é factorizábel en Q[X] entón tamén é factorizábel en Z[X] como un produto de polinomios primitivos. Agora, calquera raíz racional p/q corresponde a un factor de grao 1 en Q[X] do polinomio, e o seu representante primitivo é qx − p, supondo que p e q son primos entre si. Mais calquera múltiplo de qx − p en Z[X] ten o termo dominante divisíbel por q e o termo constante divisíbel por p, o que comproba a afirmación. Este argumento mostra que, mais xeralmente, pode suporse que calquera factor irredutíbel de P ten coeficientes enteiros, e os coeficientes dominante e constante dividen os coeficientes correspondentes de P.
Exemplos[editar | editar a fonte]
Primeiro[editar | editar a fonte]
No polinomio
Segundo[editar | editar a fonte]
No polinomio
Terceira[editar | editar a fonte]
Tódalas raíces racionais do polinomio
Por exemplo, x = 1 non funciona, xa que neste caso o valor do polinomio é igual a 1. Isto significa que a substitución x = 1 + t producen un polinomio en t con termo constante 1, en canto que o coeficiente de t3 continua a ser o mesmo que o coeficiente de x3. A aplicación do teorema das raíces racionais producen entón as seguintes posibilidades para as raíces en t:
Se se atopan k raíces racionais (k ≥ 1), o método de Horner tamén producirá un polinomio de grao n − k cuxas raíces, xuntamente coas raíces racionais, son exactamente as raíces do polinomio orixinal. Tamén pode ocorrer de ningún dos candidatos sexa unha solución; neste caso, a ecuación que iguala o polinomio a 0 non ten solución racional. Se a ecuación non posúe un termo constante a0, entón 0 é unha das solucións racionais da ecuación.
Notas[editar | editar a fonte]
- ↑ Arnold, D.; Arnold, G. (1993). Edward Arnold, ed. Four unit mathematics. pp. 120–121. ISBN 0-340-54335-3.
- ↑ King, Jeremy D. (Novembro de 2006). "Integer roots of polynomials". Mathematical Gazette 90: 455–456.
Véxase tamén[editar | editar a fonte]
Outros artigos[editar | editar a fonte]
Bibliografía[editar | editar a fonte]
- Miller, Charles D.; Lial, Margaret L.; Schneider, David I. (1990). Fundamentals of College Algebra (3ª ed.). pp. 216–221. ISBN 0-673-38638-4.
- Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1998). The historical roots of elementary mathematics. Dover Courier Publications. pp. 116–117. ISBN 0-486-25563-8.
- Larson, Ron (2007). Calculus: An Applied Approach. Cengage Learning. p. 23. ISBN 978-0-618-95825-2.