Teorema da bóla peluda

Un intento fracasado de peitear unha bóla peluda (2-esfera), deixando un remuíño en cada polo.

Un donut peludo (2-toro), pola súa banda, é doado de peitear.

Un campo de vectores tanxentes continuo nunha 2-esfera con só un polo de índice 2. Véxase tamén unha versión animada desta gráfica.

Un remuíño do cabelo.

O teorema da bóla peluda (ou teorema da esfera peluda) da topoloxía alxébrica afirma que nunha n-esfera de dimensión par non existe ningún campo de vectores tanxentes continuo que non se anule nalgún punto. Para a esfera habitual, ou 2-esfera, se f é unha función continua que asigna un vector en ℝ³ a cada punto p da esfera de forma que f(p) sexa sempre tanxente á esfera en p, entón existe polo menos un polo, é dicir, un punto onde o campo se anula (un p tal que f(p) = 0).

O teorema foi probado por primeira vez por Henri Poincaré para a 2-esfera en 1885, e estendido a dimensións pares superiores por Luitzen Egbertus Jan Brouwer en 1912.

O teorema exprésase de forma coloquial como «non se pode peitear unha bóla peluda sen crear un remuíño» ou «non se pode peitear o pelo dun coco».

Conta dos ceros

Cada cero dun campo de vectores ten un índice (non nulo), e pode demostrarse que a suma dos índices de todos os ceros é igual a dous, porque a característica de Euler da 2-esfera é dous. Polo tanto, debe existir polo menos un cero. Isto é consecuencia do teorema de Poincaré-Hopf. No caso do toro, a característica de Euler é 0; e é posible «peitear un donut peludo». Deste xeito, conclúese que en calquera superficie regular bidimensional con característica de Euler distinta de cero, todo campo de vectores tanxentes continuo debe anularse nalgún punto.

Aplicación aos gráficos por ordenador

Un problema común nos gráficos por computador consiste en xerar un vector non nulo en ℝ³ que sexa ortogonal a un vector dado e non nulo. Non existe ningunha función continua que faga isto para todos os vectores de entrada non nulos. Isto é un corolario do teorema da bóla peluda. Para velo, considérase o vector dado como o radio dunha esfera, e buscar un vector ortogonal a el equivale a buscar un vector tanxente á superficie desa esfera no punto de contacto co radio. Con todo, o teorema da bóla peluda afirma que non existe unha función continua que poida facer isto en todos os puntos da esfera (ou, equivalentemente, para todo vector dado).