Táboa de Cayley

Nomeado así polo matemático británico do século XIX Arthur Cayley, unha táboa de Cayley describe a estrutura dun grupo finito organizando todos os produtos posíbeis de todos os elementos do grupo nunha táboa cadrada que lembra unha táboa de suma ou multiplicación. Moitas propiedades dun grupo, como se é abeliano ou non, que elementos son inversos a que elementos e o tamaño e contido do centro do grupo, pódense descubrir na súa táboa de Cayley.

Un exemplo sinxelo dunha táboa de Cayley é o do grupo {1, -1} baixo a multiplicación ordinaria:

×	1	− 1
1	1	− 1
− 1	− 1	1

Historia

As táboas de Cayley presentáronse por primeira vez no artigo de Cayley de 1854, "On The Theory of Groups, as depending on the symbolic equation θⁿ = 1". Nese documento facíanse referencia simplemente como táboas e eran soamente ilustrativos, máis tarde pasaron a coñecerse como táboas de Cayley, en homenaxe ao seu creador.

Estrutura e disposición

Dado que moitas táboas de Cayley describen grupos que non son abelianos, non se garante que o produto ab en relación á operación binaria do grupo sexa igual ao produto ba para todos os a e b do grupo. Para evitar confusións, a convención é que o factor que etiqueta a fila (denominado factor máis próximo por Cayley) é o primeiro, e que o factor que etiqueta a columna (ou factor mais lonxe) é o segundo. Por exemplo, a intersección da fila a e da columna b é ab e non ba, como podemos ver no seguinte exemplo:

*	a	b	c
a	a ²	ab	ac
b	ba	b ²	bc
c	ca	cb	c ²

Propiedades e usos

Conmutatividade

A táboa de Cayley indícanos se un grupo é abeliano. Como a operación de grupo dun grupo abeliano é conmutativa, un grupo é abeliano se e só se os valores da súa táboa de Cayley son simétricos ao longo do seu eixo diagonal. O grupo {1, -1} anterior e o grupo cíclico de orde 3 baixo a multiplicación ordinaria son ambos os dou exemplos de grupos abelianos, e a inspección da simetría das súas táboas de Cayley verifícao. Pola contra, o grupo non abeliano máis pequeno, o grupo diédrico de orde 6, non ten unha táboa de Cayley simétrica.

Asociatividade

Debido a que a asociatividade tómase como un axioma cando se trata de grupos, a miúdo dáse por feito cando se trata de táboas de Cayley. No entanto, as táboas de Cayley tamén se poden usar para caracterizar a operación dun cuasigrupo, que non asume a asociatividade como un axioma (de feito, as táboas de Cayley pódense usar para caracterizar a operación de calquera magma finito). Desafortunadamente, xeralmente non é posíbel determinar se unha operación é asociativa ou non simplemente mirando a súa táboa de Cayley, como ocorre coa conmutatividade. Isto é porque a asociatividade depende dunha ecuación de 3 termos, $(ab)c=a(bc)$ , mentres que a táboa de Cayley mostra produtos de 2 termos.

Permutacións

Debido a que a propiedade de cancelación cúmprese para grupos (e mesmo para cuasigrupos), ningunha fila ou columna dunha táboa de Cayley pode conter o mesmo elemento dúas veces. Así, cada fila e columna da táboa é unha permutación de todos os elementos do grupo. Isto restrinxe moito as táboas de Cayley que poderían definir unha operación de grupo válida.

A táboa de Cayley dun grupo é un exemplo de cadrado latino. Unha proba alternativa e máis sucinta dedúcese da propiedade de cancelación. Esta propiedade implica que para cada x do grupo, a función dunha variábel de y, f(x,y)= xy debe ser un mapa un a un. O resultado é resultado do feito de que os mapas un a un en conxuntos finitos son permutacións.

Xeración de matriz de permutación

A forma estándar dunha táboa de Cayley ten a orde dos elementos das filas igual que a das columnas. Outra forma é organizar os elementos das columnas de xeito que a n-ésima columna corresponda á inversa do elemento da n-ésima fila. No noso exemplo de D₃, só necesitamos mudar as dúas últimas columnas, xa que f e d son os únicos elementos que non son inversos propios, senón inversos entre si.

	e	a	b	c	f=d ⁻¹	d=f ⁻¹
e	e	a	b	c	f	d
a	a	e	d	f	c	b
b	b	f	e	d	a	c
c	c	d	f	e	b	a
d	d	c	a	b	e	f
f	f	b	c	a	d	e

Este exemplo en particular permítenos crear seis matrices de permutación (matriz con todos os elementos 1 ou 0, onde só hai un 1 en cada fila e columna). A matriz de 6x6 que representa un elemento terá un 1 en cada posición que teña a letra do elemento na táboa de Cayley e un cero en todas as outras posicións, isto é unha representación da función delta de Kronecker para ese símbolo. (Nótese que o elemento identidade e está en todas as posicións da diagonal principal, o que nos dá a matriz de identidade para matrices 6x6 neste caso, como sería de esperar.) Aquí está a matriz que representa o noso elemento a, por exemplo.

	e	a	b	c	f	d
e	0	1	0	0	0	0
a	1	0	0	0	0	0
b	0	0	0	0	1	0
c	0	0	0	0	0	1
d	0	0	1	0	0	0
f	0	0	0	1	0	0

Isto móstranos directamente que calquera grupo de orde n é un subgrupo do grupo de permutación S_n, que ten orde n!.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Cayley, Arthur. "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ = 1", Philosophical Magazine, Vol. 7 (1854), pp. 40–47. Available on-line at Google Books as part of his collected works.
Cayley, Arthur. "On the Theory of Groups", American Journal of Mathematics, Vol. 11, No. 2 (Jan 1889), pp. 139–157. Available at JSTOR.

Outros artigos

Automorfismo.