Superficie (topoloxía)

Na parte das matemáticas coñecida como topoloxía, unha superficie é un variedade bidimensional. Algunhas superficies xorden como límites de figuras sólidas tridimensionais; por exemplo, a esfera é o límite da bóla sólida. Outras superficies xorden como gráficas de funcións de dúas variábeis; vexa a figura á dereita. Non obstante, as superficies tamén poden definirse de xeito abstracto, sen referencia a ningún espazo ambiente. Por exemplo, a botella de Klein é unha superficie que non pode ser mergullada no espazo euclidiano tridimensional.

Ás veces, as superficies topolóxicas están equipadas con información adicional, como unha métrica de Riemann ou unha estrutura complexa, que as conecta con outras disciplinas dentro das matemáticas, como a xeometría diferencial e a análise complexa. Os diversos conceptos matemáticos de superficie pódense usar para modelar superficies no mundo físico.

En xeral

Artigo principal: Superficie (matemáticas).

En matemáticas, unha superficie é unha forma xeométrica que se asemella a un plano deformado. Os exemplos máis familiares xorden como fronteiras de obxectos sólidos no espazo euclidiano tridimensional R³, como as esferas. A definición exacta dunha superficie pode depender do contexto. Normalmente, en xeometría alxébrica, unha superficie pode cruzarse a si mesma (e ter outras singularidades), mentres que, en topoloxía e xeometría diferencial, pode que non.

Unha superficie é un espazo bidimensional; isto significa que un punto en movemento nunha superficie pode moverse en dúas direccións (ten dous graos de liberdade). Noutras palabras, arredor de case todos os puntos, hai un carta de coordenadas no que se define un sistema de coordenadas bidimensional. Por exemplo, a superficie da Terra aseméllase (idealmente) a unha esfera bidimensional, e a latitude e a lonxitude proporcionan coordenadas bidimensionais nela (agás nos polos e ao longo do meridiano 180).

O concepto de superficie é amplamente utilizado en física, enxeñaría, gráficos por ordenador e moitas outras disciplinas, principalmente para representar as superficies de obxectos físicos. Por exemplo, ao analizar as propiedades aerodinámicas dun avión, a consideración central é o fluxo de ar ao longo da súa superficie.

Definicións e primeiros exemplos

Unha superficie (topolóxica) é un espazo topolóxico no que cada punto ten un veciñanza aberta homeomorfa a algún subconxunto aberto do plano euclidiano E². Tal veciñanza, xunto co homeomorfismo correspondente, coñécese como unha carta (de coordenadas). É a través desta carta que a veciñanza herda as coordenadas estándar no plano euclidiano. Estas coordenadas coñécense como coordenadas locais e estes homeomorfismos lévanos a describir as superficies como localmente euclidianas.

Na maioría dos escritos sobre o tema, adoita asumirse, explícita ou implicitamente, que, como espazo topolóxico, unha superficie tamén é non baleira, segundo-numerábel e Hausdorff. Tamén se asume frecuentemente que as superficies consideradas eson conexas.

O resto deste artigo asumirá, a menos que se especifique o contrario, que unha superficie é non baleira, Hausdorff, segundo-numerábel e conexa.

Máis xeralmente, unha superficie (topolóxica) con límite é un espazo topolóxico Hausdorff no que cada punto ten unha veciñanza aberta homeomorfa a algún subconxunto aberto do peche do semiplano superior H² en C. Estes homeomorfismos tamén se coñecen como cartas (de coordenadas). O límite do semiplano superior é o eixo x. Un punto na superficie mapeado mediante unha carta no eixo x denomínase punto do límite. A colección destes puntos coñécese como a fronteira ou límite da superficie, que é necesariamente unha variedade unidimensional, é dicir, a unión de curvas pechadas. Por outra banda, un punto mapeado por enriba do eixo x é un punto interior. A colección de puntos interiores é o interior da superficie, que sempre é non baleiro. O círculo pechado é un exemplo simple dunha superficie con límite. O límite do círculo é unha circunferencia.

A banda de Möbius é unha superficie na que se pode definir a distinción entre sentido horario e antihorario localmente, pero non globalmente. En xeral, dise que unha superficie é orientábel se non contén unha copia homeomorfa da banda de Möbius; intuitivamente, ten dous "lados" distintos. Por exemplo, a esfera e o toro son orientábeis, mentres que o plano proxectivo real non o é (porque o plano proxectivo real cun punto eliminado é homeomorfo á banda de Möbius aberta).

En xeometría diferencial e xeometría alxébrica, engádese estrutura adicional á topoloxía da superficie. Esta estrutura adicional pode ser unha estrutura de suavidade (facendo posíbel definir aplicacións diferenciábeis cara e desde a superficie), unha métrica de Riemann (facendo posíbel definir lonxitude e ángulos na superficie), unha estrutura complexa (facendo posíbel definir aplicacións holomorfas cara e desde a superficie, neste caso a superficie chámase superficie de Riemann), ou unha estrutura alxébrica (facendo posíbel detectar singularidades, como auto-interseccións e cúspides, que non poden describirse só en termos da topoloxía subxacente).

Superficies definidas extrínsecamente e mergullos

Historicamente, as superficies definíronse inicialmente como subespazos de espazos euclidianos. A miúdo, estas superficies eran o lugar dos ceros de certas funcións, normalmente funcións polinómicas. Tal definición consideraba a superficie como parte dun espazo (euclidiano) maior e, como tal, denominábase extrínseca.

Na sección anterior, unha superficie defínese como un espazo topolóxico con certas propiedades, concretamente Hausdorff e localmente euclidiano. Este espazo topolóxico non se considera un subespazo doutro espazo. Neste sentido, a definición dada anteriormente, que é a definición que os matemáticos usan actualmente, é intrínseca.

Calquera superficie compacta que sexa orientábel ou teña un límite pode mergullarse en E³; por outra banda, o plano proxectivo real, que é compacto, non orientábel e sen límite, non pode mergullarse en E³ (véxase Gramain). As superficies de Steiner, incluíndo a superficie de Boy, a superficie de Roman e a banda de Möbius, son modelos do plano proxectivo real en E³, pero só a superficie de Boy é unha superficie inmersa ou mergullada. Todos estes modelos son singulares nos puntos onde se intersecan a si mesmos.

A esfera con cornos de Alexander é un mergullo patolóxico ben coñecida da 2-esfera na 3-esfera.

O mergullo escollido (se hai algún) dunha superficie noutro espazo considérase información extrínseca; non é esencial para a superficie en si. Por exemplo, un toro pode mergullarse en E³ da maneira "estándar" ou dun xeito anoado (véxase a figura). Os dous toros mergullados son homeomorfos, pero non isotópicos: Son equivalentes topoloxicamente, pero as súas inmersións non o son.

A imaxe dunha función continua e inxectiva de R² a un Rⁿ de maior dimensión dise que é unha superficie paramétrica. Tal imaxe denomínase así porque as direccións x e y do dominio R² son 2 variábeis que parametrizan a imaxe. Unha superficie paramétrica non ten por que ser unha superficie topolóxica. Unha superficie de revolución pode verse como un tipo especial de superficie paramétrica.

Se f é unha función suave de R³ a R cuxo gradiente non é cero en ningures, entón o lugar dos ceros de f define unha superficie, coñecida como unha superficie implícita. Se se elimina a condición de gradiente non nulo, entón o lugar dos ceros pode desenvolver singularidades.

Construción con polígonos

Toda superficie pechada pódese construír a partir dun polígono orientado cun número par de lados, chamado polígono fundamental da superficie, mediante a identificación por parellas dos seus lados. Por exemplo, en cada polígono na figura embaixo, unindo os lados coas etiquetas correspondentes (A con A, B con B), de xeito que as frechas apunten na mesma dirección, obtén a superficie indicada.

Sumas conexas

A suma conexa de dúas superficies M e N, denotadas como M # N, obtense quitando un disco de cada unha delas e pegándoas ao longo dos compoñentes de fronteira resultantes. O límite dun disco é unha circunferencia, polo que estes compoñentes de fronteira son circunferencias. A característica de Euler $\chi$ (letra khi) de M # N é a suma das características de Euler dos sumandos, menos dous:

\chi (M{\mathbin {\#}}N)=\chi (M)+\chi (N)-2.\,

A esfera S é un elemento identidade para a suma conexa, o que significa que S # M = M. Isto débese a que ao eliminar un disco da esfera fica un disco, que simplemente substitúe o disco eliminado de M ao pegalo.

A suma conexa co toro T tamén se describe como unir un "asa" ao outro sumando M. Se M é orientábel, entón tamén o é T # M.

A suma conexa é asociativa, polo que a suma conexa dunha colección finita de superficies está ben definida.

A suma conexa de dous planos proxectivos reais, P # P, é a botella de Klein K. A suma conexa do plano proxectivo real e da botella de Klein é homeomorfa á suma conexa do plano proxectivo real co toro; nunha fórmula, P # K = P # T. Así, a suma conexa de tres planos proxectivos reais é homeomorfa á suma conexa do plano proxectivo real co toro.

Calquera suma conexa que implique un plano proxectivo real é non orientábel.

Superficies pechadas

Unha superficie pechada é unha superficie que é un compacto e sen límite. Exemplos de superficies pechadas inclúen a esfera, o toro e a botella de Klein. Exemplos de superficies non pechadas inclúen un círculo aberto (que é unha esfera cun buraco), un cilindro aberto (que é unha esfera con dous buracos) e a tira de Möbius.

Unha superficie mergullada nun espazo tridimensional está pechada se e só se é a fronteira dun sólido. Como con calquera variedade pechada, unha superficie mergullada no espazo euclidiano que está pechada en relación á topoloxía euclidiana herdada é non necesariamente unha superficie pechada; por exemplo, un círculo mergullado en $\mathbb {R} ^{3}$ que contén a súa fronteira é unha superficie topolóxicamente pechada mais non é unha superficie pechada.

Clasificación de superficies pechadas

O teorema de clasificación de superficies pechadas indica que calquera superficie pechada conexa é homeomorfa para algún membro dunha destas tres familias:

a esfera,
a suma conexa de g toros para g ≥ 1,
a suma conexa de k planos proxectivos reais para k ≥ 1.

Superficies con fronteira

As superficies compactas, posibelmente con fronteira, son simplemente superficies pechadas cun número finito de buracos (discos abertos que foron eliminados). Así, unha superficie compacta conexa clasifícase polo número de compoñentes fronteira e o genus da superficie pechada correspondente, de forma equivalente, polo número de compoñentes fronteira, a orientabilidade e a característica de Euler. O genus dunha superficie compacta defínese como o genus da superficie pechada correspondente.^[1]

Superficies non compactas

As superficies non compactas son máis difíciles de clasificar. Como exemplo simple, pódese obter unha superficie non compacta perforando (eliminando un conxunto finito de puntos) unha variedade pechada. Por outra banda, calquera subconxunto aberto dunha superficie compacta é en si mesma unha superficie non compacta; considere, por exemplo, o complemento dun conxunto de Cantor na esfera, tamén coñecido como superficie da árbore de Cantor. Porén, non todas as superficies non compactas son un subconxunto dunha superficie compacta; dous contraexemplos canónicos son a Escada de Jacob e a Monstro do Lago Ness, que son superficies non compactas con genus infinito.

Superficies en xeometría

Artigo principal: Xeometría diferencial de superficies.

Os poliedros, como o límite dun cubo, están entre as primeiras superficies atopadas en xeometría. Tamén é posíbel definir superficies suaves, nas que cada punto ten un difeomorfismo con algún conxunto aberto en E². Esta elaboración permite aplicar o cálculo a superficies para demostrar moitos resultados.

Dúas superficies suaves son difeomorfas se e só se son homeomorfas. (O resultado análogo non vale para variedades de dimensións superiores) Así, as superficies pechadas clasifícanse ata o difeomorfismo pola súa característica de Euler e orientabilidade.

As superficies suaves equipadas con métricas de Riemann son de importancia fundamental na xeometría diferencial. Unha métrica de Riemann dota a unha superficie das nocións de xeodésica, distancia, ángulo e área. Tamén dá lugar á curvatura gaussiana, que describe como está de curvada ou dobrada a superficie en cada punto. A curvatura é unha propiedade xeométrica ríxida, na medida en que non se conserva mediante difeomorfismos xerais da superficie.

Porén, o famoso teorema de Gauss-Bonnet para superficies pechadas afirma que a integral da curvatura gaussiana K sobre toda a superficie S está determinada pola característica de Euler:

\int _{S}K\;dA=2\pi \chi (S).

Este resultado exemplifica a profunda relación entre a xeometría e a topoloxía das superficies (e, en menor medida, as variedades de dimensións superiores).

Outra forma na que as superficies xorden na xeometría é pasando ao dominio complexo. Unha variedade complexa é unha superficie suave orientada, tamén chamada superficie de Riemann. Calquera curva alxébrica complexa non singular vista como unha variedade complexa é unha superficie de Riemann. De feito, toda superficie orientábel compacta é realizábel como unha superficie de Riemann. Así as superficies compactas de Riemann caracterízanse topoloxicamente polo seu genus: 0, 1, 2, .... Por outra banda, o genus non caracteriza a estrutura complexa. Por exemplo, hai unha cantidade non numerábel de superficies de Riemann compactas non isomorfas do genus 1 (a curvas elípticas).

Unha superficie complexa é unha 2-variedade complexa e, polo tanto, unha 4-variedade nos números reais; non é unha superficie no sentido deste artigo. Tampouco non se definen curvas alxébricas sobre corpos que non sexan os números complexos, tampouco non se definen superficies alxébricas sobre corpos que non sexan os números reais.

Notas

↑ Altınok, Selma; Bhupal, Mohan (2008). "Minimal page-genus of Milnor open books on links of rational surface singularities". Singularities II. Contemp. Math. 475. Amer. Math. Soc., Providence, RI. pp. 1–10. ISBN 978-0-8218-4717-6. MR 2454357. doi:10.1090/conm/475/09272.

Véxase tamén

Bibliografía

Dyck, Walther (1888). Beiträge zur Analysis situs I. Math. Ann. 32. pp. 459–512. doi:10.1007/bf01443580.

Outros artigos

Ligazóns externas

Classification of Compact Surfaces in Mathifold Project
The Classification of Surfaces and the Jordan Curve Theorem in Home page of Andrew Ranicki
Math Surfaces Gallery, with 60 ~surfaces and Java Applet for live rotation viewing
Math Surfaces Animation, with JavaScript (Canvas HTML) for tens surfaces rotation viewing
The Classification of Surfaces Arquivado 10 de decembro de 2010 en Wayback Machine. Lecture Notes by Z.Fiedorowicz
History and Art of Surfaces and their Mathematical Models
2-manifolds Arquivado 22 de xaneiro de 2025 en Wayback Machine. at the Manifold Atlas

[1] Altınok, Selma; Bhupal, Mohan (2008). "Minimal page-genus of Milnor open books on links of rational surface singularities". Singularities II. Contemp. Math. 475. Amer. Math. Soc., Providence, RI. pp. 1–10. ISBN 978-0-8218-4717-6. MR 2454357. doi:10.1090/conm/475/09272.

[1]