Subgrupo característico

En matemáticas, particularmente na área da álxebra abstracta coñecida como teoría de grupos, un subgrupo característico é un subgrupo que é asignado a si mesmo por cada automorfismo do grupo pai. Debido a que cada mapa de conxugación é un automorfismo interno, cada subgrupo característico é normal; aínda que a inversa non está garantida. Exemplos de subgrupos característicos inclúen o subgrupo conmutador e o centro dun grupo.

Definición

Un subgrupo H dun grupo G chámase subgrupo característico se para cada automorfismo φ de G, temos φ(H) ≤ H; entón escríbese H char G.

Sería equivalente a esixir a condición máis forte φ(H) = H para cada automorfismo φ de G, porque φ⁻¹(H) ≤ H implica a inclusión inversa H ≤ φ(H) .

Propiedades básicas

Dado H char G, todo automorfismo de G induce un automorfismo do grupo cociente G/H, que produce un homomorfismo Aut(G) → Aut(G/H) .

Se G ten un único subgrupo H dun índice dado, entón H é característico en G.

Conceptos relacionados

Subgrupo normal

Un subgrupo de H que é invariante baixo todos os automorfismos internos chámase normal; tamén, un subgrupo invariante.

∀φ ∈ Inn(G)： φ(H) ≤ H

Dado que Inn(G) ⊆ Aut(G) e un subgrupo característico é invariante baixo todos os automorfismos, todo subgrupo característico é normal. No entanto, non todos os subgrupos normais son característicos. Aquí temos algún exemplo:

• Sexa H un grupo non trivial e sexa G o produto directo, H × H. Entón os subgrupos, {1} × H e H × {1}, son normais, mais ningún é característico. En particular, ningún destes subgrupos é invariante baixo o automorfismo, (x, y) → (y, x), que troca os dous factores.
• Para un exemplo concreto disto, sexa V o grupo-catro de Klein (que é isomorfo ao produto directo, $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$). Dado que este grupo é abeliano, cada subgrupo é normal; mais cada permutación dos 3 elementos que non son a identidade é un automorfismo de V, polo que os 3 subgrupos de orde 2 non son característicos. Aquí, tendo V = {e, a, b, ab}. Considere H = {e, a} e considere o automorfismo, T(e) = e, T(a) = b, T(b) = a, T(ab) = ab; entón T(H) non está contido en H.

Transitividade

A propiedade de ser característico ou totalmente característico é transitiva; se H é un subgrupo (totalmente) característico de K, e K é un subgrupo (totalmente) característico de G, entón H é un subgrupo (totalmente) característico de G .

H char K char G ⇒ H char G.

A maiores, aínda que a normalidade non é transitiva, é certo que todo subgrupo característico dun subgrupo normal é normal.

H char K ⊲ G ⇒ H ⊲ G.

Porén, a diferenza da normalidade, se H char G e K é un subgrupo de G que contén H, entón en xeral H non é necesariamente característico en K .

H char G, H < K < G ⇏ H char K.

Exemplos

Exemplo finito

Considere o grupo G = S₃ × $\mathbb {Z} _{2}$ (o grupo de orde 12 que é o produto directo do grupo simétrico de orde 6 e un grupo cíclico de orde 2). O centro de G é isomorfo ao seu segundo factor $\mathbb {Z} _{2}$. Teña en conta que o primeiro factor, S₃, contén subgrupos isomorfos a $\mathbb {Z} _{2}$, por exemplo {e, (12)} ; sexa $f:\mathbb {Z} _{2}<\rightarrow {\text{S}}_{3}$ o mapa do morfismo $\mathbb {Z} _{2}$ no subgrupo indicado. A continuación, a composición da proxección de G sobre o seu segundo factor $\mathbb {Z} _{2}$, seguido de f, seguido da inclusión de S₃ en G como o seu primeiro factor, proporciona un endomorfismo de G baixo o cal a imaxe do centro, $\mathbb {Z} _{2}$, non está contido no centro, polo que aquí o centro non é un subgrupo totalmente característico de G.

Grupos cíclicos

Todo subgrupo dun grupo cíclico é característico.

Grupos topolóxicos

O compoñente identidade dun grupo topolóxico é sempre un subgrupo característico.

Véxase tamén

Outros artigos

• Subgrupo.
• Grupo (matemáticas)

Ligazóns externas

• CharacteristicSsubgroup (planetmath).