Subespazo vectorial

En matemáticas, e máis concretamente en álxebra linear, un subespazo linear ou subespazo vectorial ^[1] é un espazo vectorial que é un subconxunto dalgún espazo vectorial maior. Un subespazo linear adoita chamarse simplemente subespazo cando o contexto serve para distinguilo doutros tipos de subespazos.

Definición

Se V é un espazo vectorial sobre un corpo K, un subconxunto W de V é un subespazo vectorial de V se é un espazo vectorial sobre K coas operacións de V.

De forma equivalente, un subespazo vectorial de V é un subconxunto W non baleiro tal que, sempre que $w 1, w 2$ son elementos de W e $α, β$ son elementos de K, temos que $αw 1 + βw 2$ está en W. ^[2] ^[3] ^[4] ^[5] ^[6]

O conxunto unitario formado só polo vector cero e o propio espazo vectorial son subespazos vectoriais que se denominan subespazos triviais do espazo vectorial.^[7]

Exemplos

Exemplo I

No espazo vectorial V = R³ (o espazo de coordenadas reais en 3 dimensións sobre o corpo R de números reais), tomamos W como o conxunto de todos os vectores de V cuxa última compoñente é 0. Entón W é un subespazo de V.

Proba:

Dados u e v en W, entón poden expresarse como u = (u₁, u₂, 0) e v = (v₁, v₂, 0). Así temos u + v = (u₁+v₁, u₂+v₂, 0+0) = (u₁+v₁, u₂+v₂, 0). Por tanto, u + v tamén é un elemento de W.
Dado u en W e un escalar $\lambda$ en R, se u = (u₁, u₂, 0) temos $\lambda {\textbf {u}}=(\lambda u_{1},\lambda u_{2},\lambda 0)=(\lambda u_{1},\lambda u_{2},0).$ Por tanto, $\lambda$ u tamén é un elemento de W.

Exemplo II

Sexa de novo o corpo R, mais agora sexa o espazo vectorial V o plano cartesiano R². Considere W como o conxunto de puntos (x, y) de R ² tal que x = y. Entón W é un subespazo de R².

Exemplo III

De novo tome o corpo R, mais agora sexa o espazo vectorial V o conxunto R^R de todas as funcións de R en R. Sexa C(R) o subconxunto formado polas funcións continuas. Entón C(R) é un subespazo de R^R.

Proba:

Sabemos polo cálculo que 0 ∈ C(R) ⊂ R^R.
Sabemos polo cálculo que a suma de funcións continuas é continua.
De novo, sabemos polo cálculo que o produto dunha función continua e un número é continua.

Exemplo IV

Manteña o mesmo corpo e espazo vectorial que antes,mais agora considere o conxunto Diff(R) de todas as funcións diferenciábeis. O mesmo tipo de argumento que antes mostra que este tamén é un subespazo vectorial.

Propiedades dos subespazos

Da definición de espazos vectoriais, despréndese que os subespazos non están baleiros e están pechados baixo as sumas e baixo a multiplicación escalar.^[8]

Isto é equivalente a dicir que os subespazos poden caracterizarse pola propiedade de estaren pechados baixo combinacións lineares. É dicir, un conxunto non baleiro W é un subespazo vectorial se e só se toda combinación linear de elementos finitos de W tamén pertence a W.

Nun espazo vectorial topolóxico X, un subespazo W non necesita estar pechado topoloxicamente, mais un subespazo de dimensión finita sempre está pechado. ^[9]

Tipos frecuentes de subespazos

Algúns tipos frecuentes de subespazos inclúen o conxunto solución dun sistema homoxéneo de ecuacións lineares, o subconxunto do espazo euclidiano descrito por un sistema de ecuacións paramétricas homoxéneas lineares, o subespazo vectorial xerado por unha colección de vectores, o espazo nulo ou kernel, e tamén os espazos de columnas e os espazos de filas dunha matriz (combinacións lineares das columnas ou filas da matriz).

Xeometricamente (especialmente sobre o corpo de números reais e os seus subcorpos), un subespazo é un hiperplano nun n-espazo que pasa pola orixe.

Independencia, base e dimensión

En xeral, un subespazo de Kⁿ determinado por k parámetros (ou estendido por k vectores) ten dimensión k. No entante, hai excepcións a esta regra. Por exemplo, o subespazo de K³ estendido polos tres vectores (1,0,0), (0,0,1), e (2,0,3) é só o plano xz, con cada punto do plano descrito por infinitos valores diferentes de t₁, t₂, t₃.

En xeral, os vectores v₁, ... , v_k chámanse linearmente independentes se

t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}\;\neq \;u_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +u_{k}\mathbf {v} _{k}

para (t₁ ,t₂ ,...,t _k )≠ (u₁,u ₂ ,...,u_k ).

Isto pódese expresar tamén como: os vectores v₁, ..., v_k son linearmente independentes se

t₁v₁ + ··· + t_kv_k ≠ 0 para (t₁, t₂, ..., t_k) ≠ (0, 0, ..., 0).

Se v₁, ..., v_k v₁, ..., v_k son linearmente independentes, entón as coordenadas t₁, ..., t_k para un vector xerado están determinadas de forma única.

Unha base para un subespazo S é un conxunto de vectores linearmente independentes cuxa combinación linear (ou extensión) é S. O número de elementos nunha base é sempre igual á dimensión xeométrica do subespazo.

Exemplo

Sexa S o subespazo de R⁴ definido polas ecuacións

x_{1}=2x_{2}\;\;\;\;{\text{e}}\;\;\;\;x_{3}=5x_{4}.

Entón os vectores (2, 1, 0, 0) e (0, 0, 5, 1) son unha base para S. En particular, cada vector que satisfaga as ecuacións anteriores pódese escribir de forma única como unha combinación linear dos dous vectores básicos:

(2t_{1},t_{1},5t_{2},t_{2})=t_{1}(2,1,0,0)+t_{2}(0,0,5,1).

O subespazo S é bidimensional. Xeométricamente, é o plano en R⁴ que pasa polos puntos (0,0,0,0), (2,1,0,0), e (0,0,5,1).

Operacións e relacións con subespazos

Intersección

Dados os subespazos U e W dun espazo vectorial V, entón a súa intersección U ∩ W := { v ∈ V : v é un elemento tanto de U como W } tamén é un subespazo de V.^[10]

Suma

Se U e W son subespazos, a súa suma é o subespazo ^[11] $U+W=\left\{\mathbf {u} +\mathbf {w} \colon \mathbf {u} \in U,\mathbf {w} \in W\right\}.$

Por exemplo, a suma de dúas rectas é o plano que as contén. A dimensión da suma satisfai a desigualdade $\max(\dim U,\dim W)\leq \dim(U+W)\leq \dim(U)+\dim(W).$

Aquí, o mínimo só ocorre se un subespazo está contido no outro, mentres que o máximo é o caso máis xeral. A dimensión da intersección e a suma están relacionadas coa seguinte ecuación: ^[12] $\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).$

Un conxunto de subespazos é independente cando a única intersección entre calquera par de subespazos é o subespazo trivial.

A suma directa é a suma de subespazos independentes, escritos como $U\oplus W$ . Unha reformulación equivalente é que unha suma directa é unha suma de subespazos baixo a condición de que cada subespazo contribúa na extenxión da suma. ^[13] ^[14] ^[15] ^[16]

Notas

↑ Halmos (1974) pp. 16–17, § 10
↑ Anton (2005)
↑ Beauregard & Fraleigh (1973)
↑ Herstein (1964)
↑ Kreyszig (1972)
↑ Nering (1970)
↑ Hefferon (2020) p. 100, ch. 2, Definition 2.13
↑ MathWorld (2021) Subspace.
↑ DuChateau (2002) Basic facts about Hilbert Space — class notes from Colorado State University on Partial Differential Equations (M645).
↑ Nering (1970)
↑ Nering (1970)
↑ Nering (1970, p. 22)
↑ Hefferon (2020) p. 148, ch. 2, §4.10
↑ Axler (2015) p. 21 § 1.40
↑ Katznelson & Katznelson (2008) pp. 10–11, § 1.2.5
↑ Halmos (1974) pp. 28–29, § 18

Véxase tamén

Bibliografía

Anton, Howard (2005). Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.). Wiley International.
Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973). A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields. Boston: Houghton Mifflin Company. ISBN 0-395-14017-X.
Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Finite-Dimensional Vector Spaces (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-90093-4.
Hefferon, Jim (2020). Linear Algebra (4th ed.). Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4.
Herstein, I. N. (1964). Topics In Algebra. Waltham: Blaisdell Publishing Company. ISBN 978-1114541016.
Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Terse) Introduction to Linear Algebra. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9.
Kreyszig, Erwin (1972). Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.). New York: Wiley. ISBN 0-471-50728-8.
Lay, David C. (August 22, 2005). Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.). Addison Wesley. ISBN 978-0-321-28713-7.
Leon, Steven J. (2006). Linear Algebra With Applications (7th ed.). Pearson Prentice Hall.
Meyer, Carl D. (February 15, 2001). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). ISBN 978-0-89871-454-8. Arquivado dende o orixinal o March 1, 2001.
Nering, Evar D. (1970). Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.). New York: Wiley. LCCN 76091646.
Poole, David (2006). Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-99845-3.

Outros artigos

Ligazóns externas

Strang, Gilbert (7 May 2009). "The four fundamental subspaces". Arquivado dende o orixinal o 2021-12-11. Consultado o 17 Feb 2021 – vía YouTube.

[1] Halmos (1974) pp. 16–17, § 10

[2] Anton (2005)

[3] Beauregard & Fraleigh (1973)

[4] Herstein (1964)

[5] Kreyszig (1972)

[6] Nering (1970)

[7] Hefferon (2020) p. 100, ch. 2, Definition 2.13

[8] MathWorld (2021) Subspace.

[9] DuChateau (2002) Basic facts about Hilbert Space — class notes from Colorado State University on Partial Differential Equations (M645).

[10] Nering (1970)

[11] Nering (1970)

[12] Nering (1970, p. 22)

[13] Hefferon (2020) p. 148, ch. 2, §4.10

[14] Axler (2015) p. 21 § 1.40

[15] Katznelson & Katznelson (2008) pp. 10–11, § 1.2.5

[16] Halmos (1974) pp. 28–29, § 18

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]