Sistema reducido de residuos
Aparencia
En matemáticas, un subconxunto R dos enteiros chámase sistema reducido de residuos módulo n se:
- mcd(r,n) = 1 para cada r en R ,
- R contén φ(n) elementos,
- non hai dous elementos de R congruentes módulo n.[1] [2]
Aquí φ denota a función totiente de Euler .
Un sistema de residuos reducido módulo n pódese formar a partir dun sistema de residuos completo módulo n eliminando todos os números enteiros non primos relativos a n. Por exemplo, un sistema de residuos completo módulo 12 é {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Os chamados totativos 1, 5, 7 e 11 son os únicos enteiros deste conxunto que son relativamente primos con 12, polo que o correspondente sistema de residuos reducidos módulo 12 é {1, 5, 7, 11}. A cardinalidade deste conxunto pódese calcular coa función totiente: φ(12) = 4. Algúns outros sistemas de residuos reducidos módulo 12 son:
- {13,17,19,23}
- {−11,−7,−5,−1}
- {−7,−13,13,31}
- {35,43,53,61}
Feitos
[editar | editar a fonte]- Todo número nun sistema reducido de residuos módulo n é un xerador para o grupo aditivo de enteiros módulo n.
- Un sistema reducido de residuos módulo n é un grupo baixo multiplicación módulo n.
- Se {r1, r2, ..., rφ(n)} é un sistema reducido de residuos módulo n con n > 2, entón .
- Se {r1, r2, ..., rφ(n)} é un sistema reducido de residuos módulo n, e a é un número enteiro tal que mcd(a, n) = 1, entón {ar1, ar2, ..., arφ(n)} tamén é un sistema de residuos reducido módulo n.[3] [4]
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ Long (1972, p. 85)
- ↑ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 104)
- ↑ Long (1972, p. 86)
- ↑ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 108)
Véxase tamén
[editar | editar a fonte]Bibliografía
[editar | editar a fonte]- Long, Calvin T. (1972). Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.). Lexington: D. C. Heath and Company. LCCN 77171950.
- Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970). Elements of Number Theory. Englewood Cliffs: Prentice Hall. LCCN 71081766.
Outros artigos
[editar | editar a fonte]- Grupo multiplicativo de números enteiros módulo n
- Relación de congruencia
- Función totiente de Euler
- Máximo común divisor
- Aritmética modular
- Teoría de números
Ligazóns externas
[editar | editar a fonte]- Residue systems at PlanetMath
- Reduced residue system at MathWorld