Saltar ao contido

Serie harmónica

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemáticas, a serie harmónica é a serie infinita formada pola suma de todas as fraccións unitarias positivas:

Os primeiro os termos da serie suman aproximadamente , onde é o logaritmo natural e é a constante de Euler-Mascheroni. Como o logaritmo ten valores arbitrariamente grandes, a serie harmónica non ten un límite finito: é unha serie diverxente. A súa diverxencia foi probada no século XIV por Nicole Oresme utilizando un precursor da proba de condensación de Cauchy para a converxencia de series infinitas. Tamén se pode demostrar que diverxe comparando a suma cunha integral, segundo a proba de converxencia da integral.

Definición e diverxencia

[editar | editar a fonte]

A serie harmónica é a serie infinita

na que os termos son todas as fraccións unitarias positivas. É unha serie diverxente: a medida que se inclúen máis termos da serie nas sumas parciais da serie, os valores destas sumas parciais medran arbitrariamente, máis aló de calquera límite finito. Debido a que é unha serie diverxente, debería interpretarse como unha suma formal, unha expresión matemática abstracta que combina as fraccións unitarias, máis que como algo que se pode avaliar a un valor numérico. Hai moitas probas diferentes da diverxencia da serie harmónica, analizadas nun artigo de 2006 por SJ Kifowit e TA Stamps.[1] Dúas das [2] [1] máis coñecidos están listados a continuación.

Proba por comparación

[editar | editar a fonte]

Unha forma de probar a diverxencia é comparar a serie harmónica con outra serie diverxente, onde cada denominador é substituído pola seguinte potencia de dous:

A agrupación de termos iguais mostra que a segunda serie diverxe (porque é unha suma infinita de cantidades 1/2):
Debido a que cada termo da serie harmónica é maior ou igual ao termo correspondente da segunda serie (e os termos son todos positivos), e dado que a segunda serie diverxe, dedúcese (polo test de comparación) que a serie harmónica tamén diverxe. O mesmo argumento demostra con máis forza que, para todo enteiro positivo ,
Esta é a proba orixinal dada por Nicole Oresme en torno a 1350.[1] A proba de condensación de Cauchy é unha xeneralización deste argumento.[3]

Proba por comparación cunha integral

[editar | editar a fonte]
Os rectángulos con área dada pola serie harmónica, e a hipérbola polas esquinas superiores esquerdas destes rectángulos

É posíbel demostrar que a serie harmónica diverxe comparando a súa suma cunha integral impropia . Concretamente, considere a disposición dos rectángulos que se mostra na figura da dereita. Cada rectángulo ten 1 unidade de ancho e unidades altas, polo que se a serie harmónica converxe, a área total dos rectángulos sería a suma das series harmónicas. A curva permanece totalmente por debaixo do límite superior dos rectángulos, polo que a área baixo a curva (no rango de do un ao infinito que está cuberto por rectángulos) sería menor que a área de unión dos rectángulos. Non obstante, a área baixo a curva vén dada por unha integral impropia diverxente,

Como esta integral non converxe, a suma tampouco non pode converxer. [1]

Sumas parciais

[editar | editar a fonte]

Engadindo os primeiro termos da serie harmónica produce unha suma parcial, chamada número harmónico e denotado como {{Nowrap|:[4]

Valor de n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Valor aprox. de 1 1,5 1,8 2,1 2,3 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,25 3,32 3,38 3,44 3,49 3,55 3,60

De feito, a serie harmónica diverxe, as súas sumas parciais tenden cara a +∞.

Valor de n 10
Valor aprox. de 2,9 5,2 7,5 9,8 12,1 14,4 16,7 19,0 21,3

Taxa de crecemento

[editar | editar a fonte]

Estes números medran moi lentamente, cun crecemento logarítmico, como se pode ver na proba da integral.[5] Máis precisamente, pola fórmula de Euler-Maclaurin,

onde é a constante de Euler-Mascheroni e que se achega a 0 cando vai ao infinito.

Interpolación

[editar | editar a fonte]
A función digamma sobre os números complexos

A función digamma defínese como a derivada logarítmica da función gamma

Así como a función gamma proporciona unha interpolación continua dos factoriais, a función digamma proporciona unha interpolación continua dos números harmónicos, no sentido de que .[6] Esta ecuación pódese usar para estender a definición a números harmónicos con índices racionais.[7]

Series relacionadas

[editar | editar a fonte]

Serie harmónica alternada

[editar | editar a fonte]
As primeiras catorce sumas parciais da serie harmónica alterna (segmentos de liña negra) mostradas converxen ao logaritmo natural de 2 (liña vermella).

A serie

coñécese como serie harmónica alternada. É condicionalmente converxente polo test de serie alternada, pero non é absolutamente converxente. A súa suma é o logaritmo neperiano de 2.[8]

A expansión asintótica da serie comeza como

Isto resulta da igualdade e a fórmula de Euler-Maclaurin.

Función zeta de Riemann

[editar | editar a fonte]

A función zeta de Riemann defínese para real pola serie converxente

que para sería a serie harmónica. Pódese estender mediante o prolongamento analítico a unha función holomorfa en todos os números complexos agás , onde a función estendida ten un polo simple. Outros valores importantes da función zeta inclúen , que é a solución ao problema de Basilea, a constante de Apéry , que Roger Apéry demostrou que é un número irracional, e a "liña crítica" dos números complexos con parte real , conxecturado pola hipótese de Riemann como os únicos valores distintos dos enteiros negativos onde a función pode ser cero.[9]
  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Kifowit, Steven J.; Stamps, Terra A. (Spring 2006). "The harmonic series diverges again and again" (PDF). AMATYC Review (American Mathematical Association of Two-Year Colleges) 27 (2): 31–43. 
  2. Rice, Adrian (2011). "The harmonic series: A primer". En Jardine, Dick; Shell-Gellasch, Amy. Mathematical Time Capsules: Historical Modules for the Mathematics Classroom. MAA Notes 77. Washington, DC: Mathematical Association of America. pp. 269–276. ISBN 978-0-88385-984-1. 
  3. Roy, Ranjan (December 2007). "Review of A Radical Approach to Real Analysis by David M. Bressoud". SIAM Review 49 (4): 717–719. JSTOR 20454048. One might point out that Cauchy's condensation test is merely the extension of Oresme's argument for the divergence of the harmonic series 
  4. Graham, Ronald; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1989). "6.3 Harmonic numbers". Concrete Mathematics (2e ed.). Addison-Wesley. pp. 272–278. ISBN 978-0-201-55802-9. 
  5. Bressoud, David M. (2007). A Radical Approach to Real Analysis. Classroom Resource Materials Series (2nd ed.). Washington, DC: Mathematical Association of America. pp. 137–138. ISBN 978-0-88385-747-2. MR 2284828. 
  6. Ross, Bertram (1978). "The psi function". Mathematics Magazine 51 (3): 176–179. JSTOR 2689999. MR 1572267. doi:10.1080/0025570X.1978.11976704. 
  7. Sofo, Anthony; Srivastava, H. M. (2015). "A family of shifted harmonic sums". The Ramanujan Journal 37: 89–108. doi:10.1007/s11139-014-9600-9. 
  8. Freniche, Francisco J. (2010). "On Riemann's rearrangement theorem for the alternating harmonic series" (PDF). The American Mathematical Monthly 117 (5): 442–448. JSTOR 10.4169/000298910x485969. MR 2663251. doi:10.4169/000298910X485969. 
  9. Bombieri, E. (2010). "The classical theory of zeta and -functions". Milan Journal of Mathematics 78 (1): 11–59. MR 2684771. doi:10.1007/s00032-010-0121-8.  Carácter borrado en |title= na posición 34 (Axuda)

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]
  • Gerke, Oke (April 2013). "How much is it going to cost me to complete a collection of football trading cards?". Teaching Statistics 35 (2): 89–93. doi:10.1111/test.12005. 
  • Bernoulli, Jacob (1689). Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis earumque summa finita [Arithmetical propositions about infinite series and their finite sums]. Basel: J. Conrad. 
  • Bernoulli, Jacob (1713). Ars conjectandi, opus posthumum. Accedit Tractatus de seriebus infinitis [Theory of inference, posthumous work. With the Treatise on infinite series…]. Basel: Thurneysen. 
    From p. 250, prop. 16: "XVI. Summa serei infinita harmonicè progressionalium,
  • Luko, Stephen N. (March 2009). "The "coupon collector's problem" and quality control". Quality Engineering 21 (2): 168–181. doi:10.1080/08982110802642555. 
  • Mengoli, Pietro (1650). "Praefatio [Preface]". Novae quadraturae arithmeticae, seu De additione fractionum [New arithmetic quadrature (i.e., integration), or On the addition of fractions]. Bologna: Giacomo Monti.  A proba de Mengoli é por contradición
  • Oresme, Nicole (c. 1360). Quaestiones super Geometriam Euclidis [Questions concerning Euclid's Geometry]. 
  • Rice, Adrian (2011). "The harmonic series: A primer". En Jardine, Dick; Shell-Gellasch, Amy. Mathematical Time Capsules: Historical Modules for the Mathematics Classroom. MAA Notes 77. Washington, DC: Mathematical Association of America. pp. 269–276. ISBN 978-0-88385-984-1. 
  • Roy, Ranjan (December 2007). "Review of A Radical Approach to Real Analysis by David M. Bressoud". SIAM Review 49 (4): 717–719. JSTOR 20454048. One might point out that Cauchy's condensation test is merely the extension of Oresme's argument for the divergence of the harmonic series 



Outros artigos

[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas

[editar | editar a fonte]