Serie Flint Hills

Problemas sen solucionar en matemáticas:

É a serie Flint Hills $\sum _{k=1}^{\infty }{\dfrac {\csc ^{2}{n}}{n^{3}}}$ converxente ou diverxente?

(máis problemas sen solucionar en matemáticas)

A serie Flint Hills é unha serie numérica que é significativa debido a que se descoñece a súa natureza converxente ou diverxente. Outro trazo característico é que a súa diverxencia está relacionado coa medida da irracionalidade do número pi.

Definición

A serie Flint Hills está definida polo sumatorio:

$S_{1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\dfrac {\csc ^{2}{n}}{n^{3}}}$

que ven sendo o mesmo que:

$S_{1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\dfrac {1}{n^{3}\sin ^{2}{n}}}$.

Non se sabe se esta serie converxe, xa que $csc^{2}{n}$ pode ter esporadicamente valores grandes. Os valores de n que fan grande esa función son precisamente os numeradores dos converxentes da fracción continua de $\pi$ (secuencia A046947 na OEIS).

Alekseyev (2011) demostrou que a cuestión da converxencia da serie Flint Hill está relacionada coa medida da irracionalidade de $\pi$, e en particular, a converxencia implicaría $\mu (\pi )<=2.5$, que é moito máis forte que o mellor límite superior coñecido actualmente.

Proba da converxencia en función da medida de irracionalidade

Imos mostrar a proba de Alekseyev (2011):

Sexa $\epsilon >0$ e $k=\mu (\pi )+{\frac {\epsilon }{v}}$. Entón, a desigualdade $\left|\pi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{k}}}$ só se cumpre para un número finito de pares de enteiros positivos coprimos $p$ e $q$ (ver medida da irracionalidade).

Para un enteiro positivo $n$, sexa $m=\lfloor n/\pi \rfloor$, de modo que $|n/\pi -m|\leq 1/2$ e, polo tanto, $|n-m\pi |\leq \pi /2$. Entón,

$|\sin(n)|=|\sin(n-m\pi )|\geq {\frac {2}{\pi }}\cdot |n-m\pi |={\frac {2}{\pi }}\cdot m\cdot \left|{\frac {n}{m}}-\pi \right|.$

Por outra parte, para $n$ e $m$ suficientemente grandes, temos $\left|{\frac {n}{m}}-\pi \right|\geq {\frac {1}{m^{k}}}$, o que implica que

$|\sin(n)|\geq {\frac {2}{\pi }}\cdot m\cdot \left|{\frac {n}{m}}-\pi \right|\geq {\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {1}{m^{k-1}}}\geq c\cdot {\frac {1}{n^{k-1}}},$

onde $c>0$ é unha constante que depende só de $k$ mais non de $n$ (xa que $n/m$ tende a $\pi$ cando $n$ medra).

Polo tanto, para todo $n$ suficientemente grande, temos

${\frac {1}{n^{u}\cdot |\sin(n)|^{v}}}\leq {\frac {1}{c^{v}\cdot n^{u-(k-1)v}}}=O\left({\frac {1}{n^{u-(\mu (\pi )-1)v-\epsilon }}}\right).$

Daquela dedúcese que se $\mu (\pi )<1+{\frac {u}{v}}$, tomamos $\epsilon ={\frac {v}{2}}\cdot \left(1+{\frac {u}{v}}-\mu (\pi )\right)$ para obter

${\frac {1}{n^{u}\cdot |\sin(n)|^{v}}}=O\left({\frac {1}{n^{u-v(\mu (\pi )-1)-\epsilon }}}\right)=O\left({\frac {1}{n^{\epsilon }}}\right).$

E por tanto converxe a cero.

Por outra parte se $\mu (\pi )>1+{\frac {u}{v}}$, entón para $k=1+{\frac {u}{v}}$, a desigualdade inicial de irracionalidade cúmprese para infinitos pares de enteiros positivos coprimos $p$ e $q$. É dicir, existe unha sucesión de racionais ${\frac {p_{i}}{q_{i}}}$ tal que $\left|p_{i}-\pi q_{i}\right|<{\frac {1}{q_{i}^{k-1}}}.$

Entón,

$|\sin(p_{i})|=|\sin(p_{i}-q_{i}\pi )|\leq |p_{i}-q_{i}\pi |<{\frac {1}{q_{i}^{k-1}}}<C\cdot {\frac {1}{p_{i}^{k-1}}},$

onde $C>0$ é unha constante que depende só de $k$. Polo tanto, para $n=p_{i}$, temos

${\frac {1}{n^{u}\cdot |\sin(n)|^{v}}}>C^{v}\cdot n^{v(k-1)-u}=C^{v}.$

Por outra parte, temos

$|\sin(1+p_{i})|=|\sin(1+p_{i}-q_{i}\pi )|\xrightarrow {i\to \infty } \sin(1),$ e polo tanto,

${\frac {1}{(1+p_{i})^{u}\cdot |\sin(1+p_{i})|^{v}}}\xrightarrow {i\to \infty } 0.$

Concluímos que a sucesión ${\frac {1}{n^{u}\cdot |\sin(n)|^{v}}}$ diverxe, xa que contén dúas subsucesións: unha limitada inferiormente por unha constante positiva e outra que tende a cero.

Aplicando este resultado aos valores da serie Flint Hills, $u=3;v=2$, temos que $\mu (\pi )=1+{\dfrac {u}{v}}=2.5$ é o valor que determina a converxencia ou diverxencia da serie.

Véxase tamén

Bibliografía

• Pickover, C. A. "Flint Hills Series." Ch. 25 in The Mathematics of Oz: Mental Gymnastics from Beyond the Edge. New York: Cambridge University Press, pp. 57-59 and 265-268, 2002.
• Sloane, N. J. A. Sequence A046947 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Outros artigos

• Lista de sumas de recíprocos.

Ligazóns externas

• Flint Hills Series (MathWorld).