Sólido de revolución

Rotación dunha curva. A superficie formada é unha superficie de revolución

Revolución de poliedros (Matemateca Ime-Usp)

En matemáticas, enxeñería e na industria, un sólido de revolución é unha figura sólida que obtida pola rotación dun plano de curva arredor dunha recta (o eixo), que se atopa no mesmo plano.

Supondo que a curva non cruce o eixo, o volume do sólido será igual á lonxitude do círculo descrito polo centroide da figura, multiplicada pola área da figura (segundo o teorema do centroide de Papo-Guldino).

Un disco representativo é un elemento de volume tridimensional dun sólido de revolución. O elemento créase facendo xirar un segmento de liña (de lonxitude w ) arredor dalgún eixe (situado a r unidades de distancia), de xeito que se pecha un volume cilíndrico de πr²w unidades.

Un volume con forma de toro obtense pola rotación dun círculo.

Achar o volume

Dous métodos comúns para atopar o volume dun sólido de revolución son: o método de disco e o método de integración de capas. Para aplicar estes métodos, é máis doado debuxar a gráfica en cuestión; identificar a zona que se xira arredor do eixo de revolución; determinar o volume dun disco en forma de rebanda dun sólido, con espesor δx, ou unha capa cilíndrica de ancho δx ; e despois atopar o límite da suma destes volumes cando δx se achega a 0, un valor que pode ser encontrado escollendo unha integral adecuada.

Método de disco

Disco de integración no eixo y

O método do disco utilízase cando a porción que foi debuxada é perpendicular ao eixe de revolución; é dicir, cando a integración é paralela ao eixe de revolución.

O volume do sólido formado pola rotación da área entre as curvas de f(x) e g(x) e as liñas de x = a e x = b arredor do eixo x vén dado por

$V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(x)^{2}-g(x)^{2}\right|\,dx\,.$

Se g(x) = 0 (por exemplo, xirando unha área entre a curva e o eixo x), redúcese a:

$V=\pi \int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\,.$

O método pódese visualizar considerando un rectángulo horizontal delgado entre y e f(y) na parte superior e g(y) na parte inferior, e tendo no eixe y a forma dun anel (ou disco no caso de que g(y) = 0 ), con raio externo f(y) e raio interior g(y) . A área dun anel é π(R² − r²), onde R é o raio exterior no (neste caso, f(y) ) e r é o raio interno (neste caso, g(y) ) . O volume de cada disco infinitesimal é polo tanto πf(y)² dy . O límite de Riemann é a suma dos volumes do disco entre a e b que se fan integral (1).

Método do cilindro

A integración de capas

O método da capa cilíndrica utilízase cando a porción que foi debuxada é paralela ao eixo de revolución; é dicir, cando a integración é perpendicular ao eixo de revolución.

O volume do sólido formado ao xirar a área comprendida entre as curvas de f(x) e g(x) e as liñas de x = a e x = b arredor do eixe y vén dado por:

$V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx\,.$

Se g(x) = 0 e g xirando unha área entre a curva e o eixo y, redúcese a:

$V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)|\,dx\,.$

Sólidos en repouso

Sólidos rotativos formando Sólidos de revolución

O método pódese visualizar considerando un rectángulo vertical delgado en x con altura f(x) − g(x), e tendo no eixe y, a forma dunha capa cilíndrica. A superficie lateral dun cilindro é 2πrh, onde r é o raio (neste caso x) e h é a altura (neste caso f(x) − g(x)). Sumando todas as áreas de superficie ao longo do intervalo dáse o volume total.

Forma paramétrica

Matemáticas e arte: estudo dun vaso como sólido de revolución por Paolo Uccello; século XV

Cando unha curva se define pola súa forma paramétrica (x(t),y(t)) nalgún intervalo [a,b], os volumes dos sólidos xerados ao xirar a curva ao redor do eixo x ou do eixo y veñen dados por:

$V_{x}=\int _{a}^{b}\pi y^{2}\,{\frac {dx}{dt}}\,dt\,,$

$V_{y}=\int _{a}^{b}\pi x^{2}\,{\frac {dy}{dt}}\,dt\,.$

Nas mesmas circunstancias, as áreas superficiais dos sólidos xerados ao xirar a curva ao redor do eixo x ou do eixo y veñen dadas por

$A_{x}=\int _{a}^{b}2\pi y\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,,$

$A_{y}=\int _{a}^{b}2\pi x\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,.$

Véxase tamén

Outros artigos

• Matemáticas e arte
• Superficie de revolución
• Teoremas de Pappus-Guldinus
• Sólidos platónicos

Ligazons externas

• "Volumes of Solids of Revolution". 12 de Abril de 2011. Arquivado dende o orixinal o 2012-03-19. Consultado o 2017-02-01. 
• Calculus. Schaum's Outlines. 2008. pp. 244–248. ISBN 978-0-07-150861-2.  (online copy en Google Books.)
• Weisstein, Eric W. «Solid of Revolution» (en inglés). MathWorld