Retícula de enteiros

En matemáticas, a retícula de enteiros (ou rede de enteiros ou cuadrícula de enteiros ou grade de enteiros) $n$ -dimensional, denotada como $\mathbb {Z} ^{n}$ é a retícula do espazo $\mathbb {R} ^{n}$ cuxos puntos de retícula son $n$ -tuplas de números enteiros. A retícula de enteiros bidimensional tamén se chama retícula cadrada (ou rede cadrada, cuadrícula, grade cadrada). $\mathbb {Z} ^{n}$ é o exemplo máis sinxelo dun sistema de raíces. A retícula de enteiros é unha retícula unimodular impar.

Grupo de automorfismos

O grupo de automorfismos (ou grupo de congruencias) da retícula de enteiros consta de todas as permutacións e mudanzas de signo das coordenadas, e é de orde 2ⁿn! . Como grupo matricial vén dado polo conxunto de todos as n × n matrices de permutación con signo n × n. Este grupo é isomorfo ao produto semidirecto

(\mathbb {Z} _{2})^{n}\rtimes S_{n}

onde o grupo simétrico S_n actúa sobre (Z₂)ⁿ por permutación (este é un exemplo clásico dun produto de coroa).

Xeometría diofantiana

No estudo da xeometría diofantiana, a retícula cadrada de puntos con coordenadas enteiras denomínase a miúdo plano diofantiano. En termos matemáticos, o plano diofantiano é o produto cartesiano $\scriptstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ do anel de todos os números enteiros $\scriptstyle \mathbb {Z}$ . O estudo das figuras diofantianas céntrase na selección de nós no plano diofantiano de forma que todas as distancias por parellas sexan enteiros.

Xeometría grosa

En xeometría grosa, a retícula de enteiros é equivalente a groso modo ao espazo euclidiano.

Teorema de Pick

Artigo principal: Teorema de Pick.

O teorema de Pick, descrito por primeira vez por Georg Alexander Pick en 1899, proporciona unha fórmula para a área dun polígono simple con todos os vértices situados na retícula de enteiros bidimensional, en termos do número de puntos enteiros dentro del e no seu límite.^[1]

Sexa $i$ o número de puntos enteiros no interior do polígono, e sexa $b$ o número de puntos enteiros na súa fronteira (incluíndo tanto os vértices como os puntos ao longo dos lados). Daquela a zona $A$ deste polígono é:^[2] $A=i+{\frac {b}{2}}-1.$ O exemplo mostrado ten $i=7$ puntos interiores e $b=8$ puntos na fronteira, polo que a súa área é $A=7+{\tfrac {8}{2}}-1=10$ unidades cadradas.