Retícula (grupo)

En xeometría e teoría de grupos, unha retícula (ou grade, ou rede, ou cuadrícula) no espazo de coordenadas real $\mathbb {R} ^{n}$ é un conxunto infinito de puntos neste espazo coas propiedades que a suma ou a resta coordenadas de dous puntos da retícula produce outro punto da retícula, que os puntos da retícula están todos separados por unha distancia mínima e que cada punto do espazo está dentro dunha distancia máxima dun punto da rede.

O pechamento baixo a suma e a resta significa que unha retícula debe ser un subgrupo do grupo aditivo dos puntos do espazo, e os requisitos de distancia mínima e máxima pódense resumir dicindo que unha retícula é un conxunto de Delone.

Consideracións de simetría e exemplos

Unha retícula é o grupo de simetría de simetría de translación discreta en n direccións. Un padrón con esta retícula de simetría de translación non pode ter máis, pero pode ter menos simetría que a propia retícula.^[1] Como grupo (sen ter en conta a súa estrutura xeométrica) unha retícula é un grupo abeliano libre finitamente xerado e, polo tanto, isomorfo a $\mathbb {Z} ^{n}$ .

Un exemplo sinxeliño de retícula $\mathbb {R} ^{n}$ é o subgrupo $\mathbb {Z} ^{n}$ . Exemplos máis complicados inclúen a retícula E8, que é unha retícula $\mathbb {R} ^{8}$ , e a retícula de Leech dentro de $\mathbb {R} ^{24}$ . A retícula de período $\mathbb {R} ^{2}$ é fundamental para o estudo das funcións elípticas, teoría desenvolvida nas matemáticas do século XIX; xeneralízase a dimensións superiores na teoría das funcións abelianas. As retículas chamadas retículas de raíces son importantes na teoría das álxebras de Lie simples; por exemplo, a retícula E8 está relacionada cunha álxebra de Lie que leva o mesmo nome.

Dividindo o espazo segundo unha retícula

Unha retícula $\Lambda$ en $\mathbb {R} ^{n}$ ten a forma

\Lambda ={\biggl \{}\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\mathbin {\bigg \vert } a_{i}\in \mathbb {Z} {\biggr \}},

onde ${\textstyle \{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}}$ é unha base para $\mathbb {R} ^{n}$ .

Diferentes bases poden xerar a mesma retícula, mais o valor absoluto do determinante dos vectores ${\textstyle v_{i}}$ está determinada exclusivamente por $\Lambda$ e denotado como d( $\Lambda$ ). Se pensamos nunha retícula como que divide o conxunto de $\mathbb {R} ^{n}$ en poliedros iguais (copias dun paralelepípedo n-dimensional, coñecido como a rexión fundamental da retícula), daquela d( $\Lambda$ ) é igual ao volume n-dimensional deste poliedro. Por iso d( $\Lambda$ ) ás veces chámase covolume da retícula. Se isto é igual a 1, a retícula chámase unimodular.

Puntos de retícula en conxuntos convexos

O teorema de Minkowski relaciona o número d( $\Lambda$ ) e o volume dun conxunto convexo simétrico S co número de puntos reticulares contidos en S.

O número de puntos da reticula contidos nun polítopo cuxos vértices son elementos da reticula descríbese polo polinomio de Ehrhart do polítopo. As fórmulas para algúns dos coeficientes deste polinomio tamén inclúen o valor d( $\Lambda$ ).

Problemas computacionais de retículas

Os problemas computacionais de retículas teñen moitas aplicacións en informática. Por exemplo, o algoritmo de redución da base de retícula (LLL) de Lenstra-Lenstra-Lovász utilizouse na criptoanálise de moitos esquemas de cifrado de clave pública,^[2] e sábese que moitos esquemas criptográficos baseados en retículas son seguros baixo o suposto de que certos problemas de retículas son computacionalmente difíciles.^[3]

Retículas en dúas dimensións

Existen cinco tipos de retículas 2D segundo o teorema de restrición cristalográfica. Nos seguintes gráficos dase o grupo de papel pintado da retícula aparece en notación IUCr, notación Orbifold e notación Coxeter, xunto cun diagrama de fondo que mostra os dominios de simetría.

Teña en conta que un padrón con esta retícula de simetría de translación non pode ter máis, pero pode ter menos simetría que a propia retícula.

Por exemplo, nos diagramas a retícula hexagonal/triangular dáse dúas veces, unha simetría reflexiva completa de 6-veces e outra con 3-veces. Se o grupo de simetría dun padrón contén unha rotación de n-veces, entón a retícula ten simetría de n-veces para n par e 2n veces para n impar.

cmm, (2*22), [ ∞ ,2 ⁺, ∞ ]	p4m, (*442), [4,4]	p6m, (*632), [6,3]
retícula rómbica tamén retícula rectangular centrada triángulo isóscele	retícula cadrada triángulo rectángulo isóscele	retícula hexagonal (reticular triángulo equilátero)
pmm, *2222, [ ∞ ,2, ∞ ]	p2, 2222, [ ∞ ,2, ∞ ] ⁺	p3m1, (*333), [3 ^[3] ]
retícula rectangular tamén retícula rómbica centrada triangulo recto	retícula oblicua triangulo escaleno	retícula triangulo equilátero (reticula hexagonal)

Para a clasificación dunha retícula dada, comezamos cun punto e tomamos un segundo punto máis próximo. Para o terceiro punto, non na mesma liña, consideramos as súas distancias a ambos os puntos. Entre os puntos para os que a menor destas dúas distancias é menor, escollemos un punto para o que a maior das dúas sexa menor. (Non é loxicamente equivalente, mais no caso de retículas que dan o mesmo resultado é só "Escolla un punto para o que o maior dos dous sexa menor".)

Os cinco casos corresponden a que o triángulo é equilátero, recto isósceles, rectángulo, isósceles e escaleno. Nunha retícula rómbica, a distancia máis curta pode ser unha diagonal ou un lado do rombo, é dicir, o segmento de liña que une os dous primeiros puntos pode ser ou non un dos lados iguais do triángulo isósceles. Isto depende de que o ángulo máis pequeno do rombo sexa inferior a 60° ou entre 60° e 90°.

O caso xeral coñécese como período de retícula. Se os vectores p e q xeran a retícula, en lugar de p e q tamén podemos tomar p e p - q, etc. En xeral, en 2D, podemos tomar p + b q e tamén c p + d q para os enteiros a, b, c e d tal que ad-bc é 1 ou -1.

Isto garante que p e q sexan combinacións lineares enteiras dos outros dous vectores. Cada par p, q define un paralelogramo, todos coa mesma área, a magnitude do produto vectorial.

Un paralelogramo define completamente o obxecto. Sen máis simetría, este paralelogramo é un paralelogramo fundamental.

O dominio fundamental da período da retícula.

Retículas en tres dimensións

Os 14 tipos de retículas en 3D chámanse retículas de Bravais. Caracterízanse polo seu grupo espacial. Os padróns 3D con simetría de translación dun tipo particular non poden ter máis, pero poden ter menos, simetría que a propia retícula.

Retículas no espazo complexo

Unha retícula dentro de $\mathbb {C} ^{n}$ é un subgrupo discreto de $\mathbb {C} ^{n}$ que abrangue $\mathbb {C} ^{n}$ como espazo vectorial real. Como a dimensión de $\mathbb {C} ^{n}$ como un espazo vectorial real é igual a $2n$ , unha retícula en $\mathbb {C} ^{n}$ será un grupo abeliano libre de rango $2n$ .

Por exemplo, os números enteiros de Gauss $\mathbb {Z} [i]=\mathbb {Z} +i\mathbb {Z}$ forman unha retícula $\mathbb {C} =\mathbb {C} ^{1}$ , pois $(1,i)$ é unha base de $\mathbb {C}$ sobre $\mathbb {R}$ .

En grupos de Lie

De xeito máis xeral, unha retícula Γ nun grupo de Lie G é un subgrupo discreto, de xeito que o cociente G /Γ é de medida finita, xa que a medida sobre ela herdada da medida de Haar sobre G (invariante pola esquerda ou invariante pola dereita; a definición é independente desa escolla).

Iso será con certeza o caso cando G /Γ é compacto, mais esa condición suficiente non é necesaria, como mostra o caso do grupo modular en SL2 (R), que é unha retícula mais onde o cociente non é compacto (ten cúspides). Hai resultados xerais que indican a existencia de retículas nos grupos de Lie.

Unha retícula dise que é uniforme ou cocompacta se G /Γ é compacto; se non, a retícula chámase non uniforme.

Retículas en espazos vectoriais xerais

Aínda que normalmente consideramos $\mathbb {Z}$ -retículas en $\mathbb {R} ^{n}$ este concepto pódese xeneralizar a calquera espazo vectorial de dimensión finita sobre calquera corpo. Isto pódese facer do seguinte xeito:

Sexa K un corpo, sexa V un K-espazo vectorial n-dimensional, sexa $B=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}$ unha K-base para V e sexa R un anel contido dentro de K. A continuación, a R-retícula ${\mathcal {L}}$ en V xerada por B vén dada por:

{\mathcal {L}}={\biggl \{}\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}\mathbin {\bigg \vert } a_{i}\in R{\biggr \}}.

En xeral, as diferentes bases B xerarán diferentes retículas. Porén, se a matriz de transición T entre as bases está en $\mathrm {GL} _{n}(R)$ , o grupo linear xeral de R (en termos sinxelos isto significa que todas as entradas de T están en R e todas as entradas de $T^{-1}$ están en R, o que equivale a dicir que o determinante de T está en $R^{*}$ , o grupo unidade de elementos en R con inversas multiplicativas) entón as retículas xeradas por estas bases serán isomofas xa que T induce un isomorfismo entre as dúas retículas.

Casos importantes deste tipo de retículas ocorren na teoría dos números sendo K un corpo p-ádico e R os números enteiros p-ádicos.

Para un espazo vectorial que tamén é un espazo produto interno, a retícula dual pódese describir concretamente polo conxunto

{\mathcal {L}}^{*}=\{\mathbf {v} \in V\mid \langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} \rangle \in R\,{\text{ para todo }}\,\mathbf {x} \in {\mathcal {L}}\},

ou de xeito equivalente como

{\mathcal {L}}^{*}=\{\mathbf {v} \in V\mid \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{i}\rangle \in R,\ i=1,...,n\}.

Notas

↑ "Symmetry in Crystallography Notes". xrayweb.chem.ou.edu. Arquivado dende o orixinal o 26 de agosto de 2022. Consultado o 2022-11-06.
↑ Nguyen, Phong; Stern, Jacques (2001). "The Two Faces of Lattices in Cryptology". Cryptography and Lattices. Lecture Notes in Computer Science 2146. pp. 146–180. ISBN 978-3-540-42488-8. doi:10.1007/3-540-44670-2_12.
↑ Regev, Oded (2005-01-01). "On lattices, learning with errors, random linear codes, and cryptography". Proceedings of the thirty-seventh annual ACM symposium on Theory of computing. STOC '05. New York, NY, USA: ACM. pp. 84–93. ISBN 978-1581139600. doi:10.1145/1060590.1060603.

Véxase tamén

Bibliografía

Conway, John Horton; Sloane, Neil J. A. (1999). Sphere Packings, Lattices and Groups. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 290 (3rd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98585-5. MR 0920369.

Outros artigos

Ligazóns externas

Catalogue of Lattices (by Nebe and Sloane)

[1] "Symmetry in Crystallography Notes". xrayweb.chem.ou.edu. Arquivado dende o orixinal o 26 de agosto de 2022. Consultado o 2022-11-06.

[2] Nguyen, Phong; Stern, Jacques (2001). "The Two Faces of Lattices in Cryptology". Cryptography and Lattices. Lecture Notes in Computer Science 2146. pp. 146–180. ISBN 978-3-540-42488-8. doi:10.1007/3-540-44670-2_12.

[3] Regev, Oded (2005-01-01). "On lattices, learning with errors, random linear codes, and cryptography". Proceedings of the thirty-seventh annual ACM symposium on Theory of computing. STOC '05. New York, NY, USA: ACM. pp. 84–93. ISBN 978-1581139600. doi:10.1145/1060590.1060603.

[1]

[2]

[3]