Restrición dunha función

En matemáticas, a restrición dunha función $f$ é unha función nova, denotada $f\vert _{A}$ ou $f{\upharpoonright _{A}},$ obtida escollendo un dominio máis pequeno $A$ para a función orixinal $f.$ A función $f$ dise logo que estende $f\vert _{A}.$

Definición formal

Sexa $f:E\to F$ unha función dun conxunto $E$ a un conxunto $F.$ Se un conxunto $A$ é un subconxunto de $E,$ entón a restrición de $f$ a $A$ é a función ^[1]

{f|}_{A}:A\to F

dada por ${f|}_{A}(x)=f(x)$ para $x\in A.$

Informalmente, a restrición de $f$ a $A$ é a mesma función que $f,$ mais só se define en $A$ .

Extensións

Unha función $F$ dise que é unha extensión doutra función $f$ se sempre que $x$ está no dominio de $f$ entón $x$ tamén está no dominio de $F$ e $f(x)=F(x).$ É dicir, se $\operatorname {dominio} f\subseteq \operatorname {dominio} F$ e $F{\big \vert }_{\operatorname {dominio} f}=f.$

Unha extensión linear (respectivamente, extensión continua, etc.) dunha función $f$ é unha extensión de $f$ que tamén é un mapa linear (respectivamente, un mapa continuo, etc.).

Exemplos

A restrición da función non inxectiva $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ ao dominio $\mathbb {R} _{+}=[0,\infty )$ é a inxección $f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}.$
A función factorial é a restrición da función gamma aos enteiros positivos, co argumento desprazado en un: ${\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!$

Aplicacións

Funcións inversas

Para que unha función teña unha inversa, debe ser un a un. Se unha función $f$ non é un a un, pode ser posíbel definir unha inversa parcial de $f$ restrinxindo o dominio. Por exemplo, a función : $f(x)=x^{2}$ definida no conxunto de $\mathbb {R}$ non é un a un xa que $x^{2}=(-x)^{2}$ para calquera $x\in \mathbb {R} .$ No entanto, a función pasa a ser un a un se nos limitamos ao dominio $\mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty ),$ nese caso