Restrición (matemáticas)

En matemáticas, unha restrición pode referirse a dous conceptos:

• unha condición dun problema de optimización que a solución debe satisfacer. Hai varios tipos de restricións, principalmente restricións de igualdade, restricións de desigualdade e restricións de números enteiros. O conxunto de solucións candidatas que satisfai todas as restricións denomínase conxunto factible.

• a restrición dunha función $f$ é unha función nova, denotada $f\vert _{A}$ ou $f{\upharpoonright _{A}},$ obtida escollendo un dominio máis pequeno $A$ para a función orixinal $f.$ A función $f$ dise logo que estende $f\vert _{A}.$

Restrición en problemas

Exemplo de condición de problema

O seguinte é un problema de optimización simple:

$\min f(\mathbf {x} )=x_{1}^{2}+x_{2}^{4}$

suxeito a

$x_{1}\geq 1$ e mais $x_{2}=1,$

onde $\mathbf {x}$ denota o vector (x₁, x₂).

Neste exemplo, a primeira liña define a función que se vai minimizar (chamada función obxectivo ou función de custo). A segunda liña define dúas restricións, a primeira delas é unha restrición de desigualdade e a segunda é unha restrición de igualdade. Estas dúas restricións son restricións fortes, o que significa que é necesario que se cumpran; definen o conxunto factíbel de solucións candidatas.

Sen as restricións, a solución sería (0,0), onde $f(\mathbf {x} )$ ten o valor máis baixo. Mais esta solución non satisfai as condicións. A solución do problema de optimización restrinxida indicada anteriormente é $\mathbf {x} =(1,1)$, que é o punto co menor valor de $f(\mathbf {x} )$ que satisfai as dúas restricións.

Terminoloxía

• Se se mantén unha restrición de desigualdade con igualdade no punto óptimo, dise que a restrición é unha restrición efectiva, xa que o punto non se pode variar na dirección da restrición aínda que facelo melloraría o valor da función obxectivo.
• Se unha restrición de desigualdade se mantén como unha desigualdade estrita no punto óptimo (é dicir, non se cumpre coa igualdade), dise que a restrición é non efectiva, xa que o punto podería variar na dirección da restrición, aínda que non sería óptimo facelo. Baixo certas condicións, como por exemplo na optimización convexa, se unha restrición é non efectiva, o problema de optimización tería a mesma solución aínda en ausencia desa restrición.
• Se unha restrición non se cumpre nun punto dado, dise que o punto é inviábel.

Restrición dunha función

Artigo principal: Restrición dunha función.

Sexa $f:E\to F$ unha función dun conxunto $E$ nun conxunto $F$ e sexa $A$ un subconxunto de $E$.

Informalmente, a restrición da función $f$ ao subconxunto $A$ é a mesma función que $f,$ mais só se define en $A$.

Definición formal

Sexa $f:E\to F$ unha función dun conxunto $E$ a un conxunto $F.$ Se un conxunto $A$ é un subconxunto de $E,$ entón a restrición de $f$ a $A$ é a función

${f|}_{A}:A\to F$

dada por ${f|}_{A}(x)=f(x)$ para $x\in A.$

Exemplos

1. A restrición da función non inxectiva $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ ao dominio $\mathbb {R} _{+}=[0,\infty )$ é a inxección $f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}.$
2. A función factorial é a restrición da función gamma aos enteiros positivos, co argumento desprazado en un: ${\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!$

Notas

Outros artigos

• Restrición dunha función

Ligazóns externas

• Nonlinear programming FAQ Arquivado 2019-10-30 en Wayback Machine.
• Mathematical Programming Glossary Arquivado 2010-03-28 en Wayback Machine.