Raíz da unidade

As raíces 5 da unidade (puntos azuis) no plano complexo

En matemáticas, unha raíz da unidade, ocasionalmente chamada número de Moivre, é calquera número complexo que dá 1 cando se eleva a unha potencia enteira positiva $n$ . As raíces da unidade utilízanse en moitas ramas das matemáticas, e son especialmente importantes na teoría dos números, na teoría dos caracteres de grupos e na transformada discreta de Fourier.

Definición xeral

Unha raíz $n$ -ésima da unidade, onde $n$ é un número enteiro positivo, é un número $z$ que satisfai a ecuación^[1]^[2] $z^{n}=1.$ A menos que se especifique o contrario, as raíces da unidade pódense considerar números complexos (incluíndo o número 1 e o número −1 se $n$ é par, que son complexos cunha parte imaxinaria cero), e neste caso, as raíces $n$ -ésimas da unidade son^[3] $\exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.$

No entanto, a ecuación definitoria das raíces da unidade é significativa sobre calquera corpo (e mesmo sobre calquera anel) $F$ , e isto permite considerar as raíces da unidade en $F$ . Sexa cal sexa o corpo $F$ , as raíces da unidade en $F$ son números complexos, se a característica de $F$ é 0, ou, en caso contrario, pertencen a un corpo finito. Pola contra, cada elemento distinto de cero nun corpo finito é unha raíz da unidade nese corpo. Consulte raíz da unidade módulo n e Corpo finito para obter máis detalles.

Dise que é unha raíz $n$ -ésima da unidade é primitiva se non é unha raíz $m$ -éisma da unidade para algún $m$ máis pequeno, é dicir se^[4]^[5]

z^{n}=1\quad {\text{e}}\quad z^{m}\neq 1{\text{ for }}m=1,2,3,\ldots ,n-1.

Se n é un número primo, entón todas as raíces $n$ -ésimas da unidade, agás o 1, son primitivas. ^[6]

Na fórmula anterior en termos de funcións exponenciais e trigonométricas, as raíces $n$ -ésimas primitivas da unidade son aquelas para as que $k$ e $n$ son números enteiros primos.

Propiedades elementais

Cada $n$ -ésima raíz da unidade $z$ é unha raíz primitiva $a$ -ésima da unidade para algún $a \leq n$ , que é o menor enteiro positivo tal que $z a = 1$ .

Calquera potencia enteira dunha raíz $n$ -ésima da unidade é tamén unha raíz $n$ -ésima da unidade,^[7] pois

(z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.

Isto tamén é certo para os expoñentes negativos. En particular, o recíproco dunha raíz $n$ -ésima da unidade é o seu complexo conxugado, e tamén é unha raíz $n$ -ésima da unidade:^[8]

{\frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.

Se $z$ é unha raíz $n$ -ésima da unidade e $a \equiv b (mod n)$ entón $z a = z b$ . De feito, pola definición de congruencia módulo n, $a = b + kn$ para algún número enteiro $k$ , e polo tanto

z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}(z^{n})^{k}=z^{b}1^{k}=z^{b}.

Polo tanto, dada unha potencia $z a$ de $z$ , temos $z a = z r$ , onde $0 \leq r < n$ é o resto da división euclidiana de $a$ por $n$ .

Propiedades do grupo

Grupo de todas as raíces da unidade

O produto e a inversa multiplicativa de dúas raíces da unidade tamén son raíces da unidade. De feito, se $x m = 1$ e $y n = 1$ , entón $(x -1) m = 1$ e $(xy) k = 1$ , onde $k$ é o mínimo común múltiplo de $m$ e $n$ .

Polo tanto, as raíces da unidade forman un grupo abeliano baixo a multiplicación. Este grupo é o subgrupo de torsión do grupo circular.

Grupo das raíces $n$ -ésimas da unidade

Para un número enteiro n, o produto e o inverso multiplicativo de dúas raíces $n$ -ésimas da unidade tamén son raíces $n$ -ésimas da unidade. Polo tanto, as raíces $n$ -ésimas da unidade forman un grupo abeliano baixo a multiplicación.

Dada unha raíz primitiva $n$ -ésima da unidade $ω$ , as outras raíces $n$ -ésimas son potencias de $ω$ . Isto significa que o grupo das raíces $n$ -ésimas da unidade é un grupo cíclico. Cabe sinalar que o termo de grupo cíclico orixinouse de que este grupo é un subgrupo do grupo circular.

Grupo de Galois das raíces $n$ -ésimas da unidade primitivas

Sexa $\mathbb {Q} (\omega )$ a extensión de corpo dos números racionais xerados sobre $\mathbb {Q}$ por unha raíz $n$ ésima primitiva da unidade $ω$ . Como cada raíz $n$ -ésima da unidade é unha potencia de $ω$ , o corpo $\mathbb {Q} (\omega )$ contén todas as raíces $n$ -ésimas da unidade, e $\mathbb {Q} (\omega )$ é unha extensión de Galois de $\mathbb {Q} .$

Se $k$ é un número enteiro, $ω k$ é unha raíz $n$ -ésima primitiva da unidade se e só se $k$ e $n$ son coprimos. Neste caso, o mapa

\omega \mapsto \omega ^{k}

induce un automorfismo de $\mathbb {Q} (\omega )$ , que mapea cada raíz $n$ -ésima da unidade coa súa $k$ -ésima potencia. Todo automorfismo de $\mathbb {Q} (\omega )$ obtense deste xeito, e estes automorfismos forman o grupo de Galois $\mathbb {Q} (\omega )$ sobre o corpo dos racionais.

As regras de exponenciación implican que a composición de dous destes automorfismos se obtén multiplicando os expoñentes. Dedúces que o mapa

k\mapsto \left(\omega \mapsto \omega ^{k}\right)

define un isomorfismo de grupos entre as unidades do anel de enteiros módulo $n$ e o grupo de Galois de $\mathbb {Q} (\omega ).$

Isto mostra que este grupo de Galois é abeliano, e implica así que as raíces primitivas da unidade poden expresarse en termos de radicais.

Expresión trigonométrica

A fórmula de De Moivre, que é válida para todos os $x$ reais e os enteiros $n$ , é

\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.

Facendo $x = 2π / n$ dá unha raíz primitiva da unidade, temos

\left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,

mais

\left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1

para $k = 1, 2, \dots, n - 1$ . Noutras palabras,

\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}

é unha raíz primitiva $n$ -ésima da unidade.

A fórmula de Euler

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

que é válida para todos os $x$ reais, pódese usar para poñer a fórmula das raíces $n$ -ésimas da unidade na forma

e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\quad 0\leq k<n.

Da discusión na sección anterior despréndese que esta é unha raíz primitiva $n$ -enéisma da unidade se e só se a fracción ${\tfrac {k}{n}}$ está nos seus termos máis pequenos.

Expresión alxébrica

As raíces $n$ -ésimas da unidade son, por definición, as raíces do polinomio $x n - 1$ e, polo tanto, son números alxébricos. Como este polinomio non é irredutíbel (agás $n = 1$ ), as raíces $n$ -ésimas primitivas da unidade son raíces dun polinomio irredutíbel (sobre os enteiros) de grao inferior, chamado polinomio ciclotómico $n$ -ésimo, e que moitas veces se denota $Φ n$ . O grao de $Φ n$ vén dado pola función totiente de Euler, que conta (entre outras cousas) o número de raíces $n$ -ésimas primitivas da unidade.^[9] As raíces de $Φ n$ son exactamente as raíces primitivas $n$ -ésimas raíces da unidade.

Polinomios ciclotómicos

Os ceros do polinomio

p(z)=z^{n}-1

son precisamente as raíces $n$ -ésimas da unidade, cada unha cunha multiplicidade 1. O polinomio ciclotómico $n$ -ésimo defínese polo feito de que os seus ceros son precisamente as raíces primitivas $n$ -ésimas da unidade, cada unha cunha multiplicidade 1.

\Phi _{n}(z)=\prod _{k=1}^{\varphi (n)}(z-z_{k})

onde $z 1, z 2, z 3, \dots, z φ(n)$ son as raíces primitivas $n$ -ésimas primitivas da unidade, e $φ(n)$ é a función totiente de Euler. O polinomio $Φ n (z)$ ten coeficientes enteiros e é un polinomio irredutíbel sobre os números racionais (é dicir, non se pode escribir como o produto de dous polinomios de grao positivo con coeficientes racionais). ^[9] O caso de $n$ primo, que é máis doado que a afirmación xeral, dedúcese aplicando o criterio de Eisenstein ao polinomio

{\frac {(z+1)^{n}-1}{(z+1)-1}},

e expandindo mediante o teorema binomial.

Cada raíz $n$ -ésima da unidade é unha raíz primitiva $d$ -ésima da unidade para exactamente un divisor positivo $d$ de $n$ . Isto implica que ^[9]

z^{n}-1=\prod _{d\,|\,n}\Phi _{d}(z).

Esta fórmula representa a factorización do polinomio $z n - 1$ en factores irredutíbeis:

{\begin{aligned}z^{1}-1&=z-1\\z^{2}-1&=(z-1)(z+1)\\z^{3}-1&=(z-1)(z^{2}+z+1)\\z^{4}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)\\z^{5}-1&=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{6}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\\z^{7}-1&=(z-1)(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{8}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)(z^{4}+1)\\\end{aligned}}

Aplicando a inversión de Möbius á fórmula temos

\Phi _{n}(z)=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{\frac {n}{d}}-1\right)^{\mu (d)}=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{d}-1\right)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},

onde $μ$ é a función de Möbius. Polo tanto, os primeiros polinomios ciclotómicos son

Φ 1 (z) = z - 1

Φ 2 (z) = (z 2 - 1)\cdot(z - 1) -1 = z + 1

Φ 3 (z) = (z 3 - 1)\cdot(z - 1) -1 = z 2 + z + 1

Φ 4 (z) = (z 4 - 1)\cdot(z 2 - 1) -1 = z 2 + 1

Φ 5 (z) = (z 5 - 1)\cdot(z - 1) -1 = z 4 + z 3 + z 2 + z + 1

Φ 6 (z) = (z 6 - 1)\cdot(z 3 - 1) -1 \cdot(z 2 - 1) -1 \cdot(z - 1) = z 2 - z + 1

Φ 7 (z) = (z 7 - 1)\cdot(z - 1) -1 = z 6 + z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1

Φ 8 (z) = (z 8 - 1)\cdot(z 4 - 1) -1 = z 4 + 1

Grupos cíclicos

As raíces $n$ -ésimas da unidade forman baixo a multiplicación un grupo cíclico de orde $n$ , e de feito estes grupos comprenden todos os subgrupos finitos do grupo multiplicativo do corpo de números complexos. Un xerador para este grupo cíclico é unha raíz $n$ -ésima primitiva da unidade.

As raíces $n$ -ésimas da unidade forman unha representación irredutíbel de calquera grupo cíclico de orde $n$ . A relación de ortogonalidade tamén se deduce a partir dos principios da teoría de grupos tal como se describe en carácter dun grupo.

Corpos ciclotómicos

Ao achegar a unha raíz primitiva $n$ -ésima da unidade a $\mathbb {Q} ,$ obtense o $n$ -ésimo corpo ciclotómico $\mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n)).$ Este corpo contén todas as raíces $n$ -ésimas da unidade e é o corpo de descomposición do $n$ -ésimo polinomio ciclotómico sobre $\mathbb {Q} .$ A extensión de corpo $\mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q}$ ten grao φ(n) e o seu grupo de Galois é isomorfo naturalmente ao grupo multiplicativo de unidades do anel $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .$

Notas

↑ Hadlock, Charles R. (2000). Field Theory and Its Classical Problems, Volume 14. Cambridge University Press. pp. 84–86. ISBN 978-0-88385-032-9.
↑ Lang, Serge (2002). "Roots of unity". Algebra. Springer. pp. 276–277. ISBN 978-0-387-95385-4.
↑ Meserve, Bruce E. (1982). Fundamental Concepts of Algebra. Dover Publications. p. 52.
↑ Moskowitz, Martin A. (2003). Adventure in Mathematics. World Scientific. p. 36. ISBN 9789812794949.
↑ Lidl, Rudolf; Pilz, Günter (1984). Applied Abstract Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. p. 149. ISBN 978-0-387-96166-8. doi:10.1007/978-1-4615-6465-2.
↑ Morandi, Patrick (1996). Field and Galois theory. Graduate Texts in Mathematics 167. Springer. p. 74. ISBN 978-0-387-94753-2. doi:10.1007/978-1-4612-4040-2.
↑ Reilly, Norman R. (2009). Introduction to Applied Algebraic Systems. Oxford University Press. p. 137. ISBN 978-0-19-536787-4.
↑ Rotman, Joseph J. (2015). Advanced Modern Algebra 1 (3rd ed.). American Mathematical Society. p. 129. ISBN 9781470415549.
↑ ^9,0 ^9,1 ^9,2 Riesel, Hans (1994). Prime Factorization and Computer Methods for Factorization. Springer. p. 306. ISBN 0-8176-3743-5.

Véxase tamén

Bibliografía

Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics 211 (Revised third ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4. MR 1878556. Zbl 0984.00001.
Milne, James S. (1998). "Algebraic Number Theory". Course Notes.
Milne, James S. (1997). "Class Field Theory". Course Notes.
Neukirch, Jürgen (1986). Class Field Theory. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-15251-2.
Washington, Lawrence C. (1997). Introduction to Cyclotomic Fields (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94762-0.
Derbyshire, John (2006). "Roots of Unity". Unknown Quantity. Washington, D.C.: Joseph Henry Press. ISBN 0-309-09657-X.

Outros artigos

[1] Hadlock, Charles R. (2000). Field Theory and Its Classical Problems, Volume 14. Cambridge University Press. pp. 84–86. ISBN 978-0-88385-032-9.

[2] Lang, Serge (2002). "Roots of unity". Algebra. Springer. pp. 276–277. ISBN 978-0-387-95385-4.

[meserve-3] Meserve, Bruce E. (1982). Fundamental Concepts of Algebra. Dover Publications. p. 52.

[moskowitz-4] Moskowitz, Martin A. (2003). Adventure in Mathematics. World Scientific. p. 36. ISBN 9789812794949.

[lidl-5] Lidl, Rudolf; Pilz, Günter (1984). Applied Abstract Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. p. 149. ISBN 978-0-387-96166-8. doi:10.1007/978-1-4615-6465-2.

[morandi-6] Morandi, Patrick (1996). Field and Galois theory. Graduate Texts in Mathematics 167. Springer. p. 74. ISBN 978-0-387-94753-2. doi:10.1007/978-1-4612-4040-2.

[integer-power-7] Reilly, Norman R. (2009). Introduction to Applied Algebraic Systems. Oxford University Press. p. 137. ISBN 978-0-19-536787-4.

[conjugate-8] Rotman, Joseph J. (2015). Advanced Modern Algebra 1 (3rd ed.). American Mathematical Society. p. 129. ISBN 9781470415549.

[riesel-9] 9,0 ^9,1 ^9,2 Riesel, Hans (1994). Prime Factorization and Computer Methods for Factorization. Springer. p. 306. ISBN 0-8176-3743-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]