Raíz cadrada de dous

A hipotenusa dun triángulo rectángulo cuxos catetos miden 1 ten unha raíz cadrada de dous.

A raíz cadrada de dous, denotada como ${\sqrt {2}}$, é o único número real positivo cuxo cadrado (é dicir, o resultado da súa multiplicación por si mesmo) é dous: ${\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}=2$ .

A raíz cadrada de dous é un número irracional, é dicir, non é posíbel atopar dous enteiros $a$ e $b$ tal que ${\frac {a}{b}}={\sqrt {2}}.$

Crese que ${\sqrt {2}}$ foi o primeiro número irracional recoñecido como tal. Este importante descubrimento atribúeselle a Hippaso de Metaponto, da escola de Pitágoras. Segundo a lenda, a demostración custoulle a vida ao seu descubridor, xa que contradí as ideas predominantes entre os pitagóricos de que todo era un número (enteiro).

Un triángulo rectángulo cuxos catetos miden 1 ten unha hipotenusa de lonxitude ${\sqrt {2}}$ .

A fracción 99/70 (≈ 1,4142 857) úsase ás veces como unha boa aproximación racional cun denominador razoábelmente pequeno.

A secuencia A002193 na Enciclopedia en liña de secuencias enteiras está formada polos díxitos da expansión decimal da raíz cadrada de 2, aquí truncadas a 65 cifras decimais:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799

Notación

A raíz cadrada de dous pódese escribir como:

• ${\sqrt {2}}$, lea "raíz cadrada de dous" ou "raíz de dous".
• $2^{\frac {1}{2}}$ ou $2^{1/2}$, lese como "dous elevado a un medio".

Secuencia converxente á raíz cadrada de dous

Pódese construír facilmente unha secuencia de números racionais que se achegan (converxen) a ${\sqrt {2}}$ :

$\left\{{\begin{array}{l}x_{0}=1\\x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}\end{array}}\right.$

Esta relación de recorrencia produce a secuencia:

$1;~~{\frac {3}{2}};~~{\frac {17}{12}};~~{\frac {577}{408}};~~{\frac {665857}{470832}};~~{\frac {886731088897}{627013566048}}$

Ou, aproximadamente:

$1;~~1,5;~~1.416666667;~~1.414215686;~~1.414213562;~~1.414213562$

Teña en conta que o método estabiliza o noveno decimal despois de só cinco pasos.

Recíproco

O inverso multiplicativo (recíproco) da raíz cadrada de dous é unha constante amplamente utilizada, co valor decimal:

0.70710678118654752440084436210484903928483593768847...

Atópase a miúdo en xeometría e trigonometría porque o vector unitario, que forma un ángulo de 45° cos eixos nun plano, ten coordenadas

$\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\!.$

Cada coordenada cumpre

${\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\tfrac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }.$

Representacións

Serie e produto

A identidade cos π/4 = sen π/4 = 1/√2, xunto coas representacións infinitas do produto para seno e coseno, leva a produtos como

${\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots$

${\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots$

ou equivalentemente,

${\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\!\left(1+{\frac {1}{5}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\cdots .$

O número tamén se pode expresar tomando a serie de Taylor dunha función trigonométrica. Por exemplo, a serie para cos π/4 dá

${\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2k}}{(2k)!}}.$

A serie de Taylor de √1 + x con x = 1 e usando o duplo factorial n!! dá

${\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\cdots =1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {5}{128}}+{\frac {7}{256}}+\cdots .$

A converxencia desta serie pódese acelerar cunha transformada de Euler, producindo

${\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k+1)!}{2^{3k+1}(k!)^{2}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\cdots .$

Non se sabe se ${\sqrt {2}}$ se póode representar cunha fórmula de tipo BBP. No entanto, coñécense fórmulas de tipo BBP para π√2 e √2 ln(1+√2).

O número pódese representar mediante unha serie infinita de fraccións exipcias, con denominadores definidos por termos 2ⁿ-ésimos dunha relación de recorrencia de tipo Fibonacci $a(n)=34a(n-1)-a(n-2),a(0)=0,a(1)=6.$

${\sqrt {2}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{a(2^{n})}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{204}}+{\frac {1}{235416}}+\dots \right)$

Fracción continua

A raíz cadrada de 2 e aproximacións por converxentes de fraccións continuas

A raíz cadrada de dous ten a seguinte representación como fracción continua regular :

${\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}.$

en forma abreviada $[1,2,2,2,\ldots ]$

Os converxentes p/q formados ao truncar esta representación forman unha secuencia de fraccións que aproximan a raíz cadrada de dous con precisión crecente e que se describen polos número de Pell (é dicir, p² − 2q² = ±1). Os primeiros converxentes son: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408 e o converxente seguinte a p/q é p + 2q/p + q. A función converxente p/q difire de ${\sqrt {2}}$ en case exactamente 1/2√2}q², o que se deduce de:

$\left|{\sqrt {2}}-{\frac {p}{q}}\right|={\frac {|2q^{2}-p^{2}|}{q^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}={\frac {1}{q^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}\thickapprox {\frac {1}{2{\sqrt {2}}q^{2}}}$

Cadrado aniñado

As seguintes expresións con cadrados aniñadas converxen a ${\textstyle {\sqrt {2}}}$:

${\begin{aligned}{\sqrt {2}}&={\tfrac {3}{2}}-2\left({\tfrac {1}{4}}-\left({\tfrac {1}{4}}-{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}-\cdots {\bigr )}^{2}\right)^{2}\right)^{2}\\[10mu]&={\tfrac {3}{2}}-4\left({\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{8}}+{\bigl (}{\frac {1}{8}}+\cdots {\bigr )}^{2}\right)^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}$

Aplicacións

Tamaño do papel

En 1786, o profesor alemán de física Georg Christoph Lichtenberg descubriu que calquera folla de papel cuxo bordo longo sexa ${\sqrt {2}}$ veces máis grande que o seu bordo curto podíase dobrar pola metade e aliñarse co seu lado curto para producir unha folla coas mesmas proporcións que a orixinal.

Esta relación entre as lonxitudes do lado máis longo sobre o lado máis curto garante que cortar unha folla pola metade ao longo dunha liña dá como resultado que as follas máis pequenas teñan a mesma relación de aspecto (aproximada) que a folla orixinal.

Cando Alemaña estandarizou os tamaños de papel a principios do século XX, utilizaron a proporción de Lichtenberg para crear a serie "A" de tamaños de papel. Hoxe, a relación (aproximada) de tamaños de papel en ISO 216 (A4, A0, etc.) é 1: ${\sqrt {2}}$

Ciencias físicas

Existen algunhas propiedades interesantes que inclúen a raíz cadrada de 2 nas ciencias físicas:

• A raíz cadrada de dous é a relación de frecuencias dun intervalo de trítonos na música de doce tons de temperamento igual.
• A raíz cadrada de dous forma a relación de f-paradas en lentes fotográficas, o que á súa vez significa que a relación das áreas entre dúas aberturas sucesivas é 2.
• A latitude celeste (declinación) do Sol durante os puntos astronómicos dun cuarto de día cruzado é igual á inclinación do eixo do planeta dividida por ${\sqrt {2}}$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libros

Outros artigos

• Número pi
• Teorema de Pitagoras

Ligazóns externas

• Cinco milhões de casas decimais da raiz quadrada de 2