Produto triplo

O produto triplo escalar (tamén chamado produto mixto) defínese como o produto escalar dun dos vectores co produto vectorial dos outros dous.

Interpretación xeométrica

Xeométricamente, o produto triplo escalar

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )

é o volume (con signo) do paralelepípedo definido polos tres vectores indicados.

Propiedades

O produto triplo escalar non muda baixo un desprazamento circular dos seus tres operandos (a, b, c):
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$
Trocar as posicións dos operadores sen reordenar os operandos deixa o produto triplo sen cambios:
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c}$
O troco de dous dos tres operandos nega o produto triplo:
${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\\&=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\end{aligned}}$
O produto triplo escalar tamén se pode entender como o determinante da matriz 3 x 3 que ten os tres vectores como filas ou columnas (unha matriz ten o mesmo determinante que a súa transposta):
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{bmatrix}}.$
Se o produto triplo escalar é igual a cero, entón os tres vectores a, b e c son coplanares, xa que o paralelepípedo definido por eles sería plano e non terá volume.
Se dous vectores calquera do produto triplo escalar son iguais, entón o seu valor é cero:
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0$
Tamén
$(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\,\mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )$

A razón entre o produto triplo e o produto das tres normas vectoriais coñécese como seno polar: ${\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}{\|{\mathbf {a} }\|\|{\mathbf {b} }\|\|{\mathbf {c} }\|}}=\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$ que oscila entre −1 e 1.

Como produto exterior

Na álxebra exterior e álxebra xeométrica o produto exterior de dous vectores é un bivector, mentres que o produto exterior de tres vectores é un trivector. Un bivector é un elemento plano orientado e un trivector é un elemento de volume orientado, do mesmo xeito que un vector é un elemento de recta orientada.

Dados os vectores a, b e c, o produto

\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c}

é un trivector cunha magnitude igual ao produto triplo escalar, é dicir

|\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} |=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|

,

e é o dual de Hodge do produto triplo escalar. Como o produto exterior é asociativo non son necesarios corchetes xa que non importa cal de a ∧ b ou b ∧ c se calcula primeiro, aínda que a orde dos vectores no produto si importa. Xeométricamente o trivector a ∧ b ∧ c corresponde ao paralelepípedo abranguido por a, b e c, cos bivectores a ∧ b, b ∧ c e a ∧ c coincidentes coas caras do paralelogramo do paralelepípedo.

Produto triplo vectorial

O produto triplo vectorial defínese como o produto cruzado dun vector co produto cruzado dos outros dous. Manténse a seguinte relación:

\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c}

.

Isto coñécese como expansión do produto triplo, ou fórmula de Lagrange,^[1]^[2]^[3] aínda que este último nome tamén se usa para outras fórmulas.

Dado que o produto vectorial é anticomutativo, esta fórmula tamén se pode escribir (ata a permutación das letras) como:

(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b}

Da fórmula de Lagrange despréndese que o produto do triplo vectorial satisfai:

\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0}

que é a identidade de Jacobi para o produto vectorial. Outra fórmula útil é a seguinte:

(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )-\mathbf {b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )

Estas fórmulas son moi útiles para simplificar os cálculos vectoriais en física. Unha identidade relacionada con gradientes e útil no cálculo vectorial é a fórmula de Lagrange da identidade do produto vectorial :^[4]

{\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A}

Isto tamén pode considerarse como un caso especial do máis xeral operador de Laplace-de Rham $\Delta =d\delta +\delta d$ .

Notas

↑ Lagrange, J-L (1773). "Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires". Oeuvres 3.
↑ Kiyosi Itô (1987). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. MIT Press. p. 1679. ISBN 0-262-59020-4.
↑ Kiyosi Itô (1993). "§C: Vector product". Encyclopedic dictionary of mathematics (2nd ed.). MIT Press. p. 1679. ISBN 0-262-59020-4.
↑ Pengzhi Lin (2008). Numerical Modelling of Water Waves: An Introduction to Engineers and Scientists. Routledge. p. 13. ISBN 978-0-415-41578-1.

Véxase tamén

Outros artigos

[1] Lagrange, J-L (1773). "Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires". Oeuvres 3.

[2] Kiyosi Itô (1987). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. MIT Press. p. 1679. ISBN 0-262-59020-4.

[Itô-3] Kiyosi Itô (1993). "§C: Vector product". Encyclopedic dictionary of mathematics (2nd ed.). MIT Press. p. 1679. ISBN 0-262-59020-4.

[Lin-4] Pengzhi Lin (2008). Numerical Modelling of Water Waves: An Introduction to Engineers and Scientists. Routledge. p. 13. ISBN 978-0-415-41578-1.

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