Produto de Hadamard

En matemáticas, o produto de Hadamard (tamén coñecido como produto elemento a elemento ou produto de Schur^[1]) é unha operación binaria que toma dúas matrices das mesmas dimensións e devolve unha matriz dos elementos correspondentes multiplicados. Esta operación pódese pensar como unha "multiplicación matricial inxenua" e é diferente do produto matricial. Atribúese e recibe o nome do matemático francés Jacques Hadamard ou do matemático ruso-alemán Issai Schur.

O produto de Hadamard é asociativo e distributivo. A diferenza do produto matricial, tamén é conmutativo.^[2]

Definición

Para dúas matrices $A$ e $B$ da mesma dimensión $m \times n$ , o produto de Hadamard $A\odot B$ (ás veces $A\circ B$ ^[3]^[4]^[5]) é unha matriz da mesma dimensión que os operandos, con elementos dados por ^[2]

(A\odot B)_{ij}=(A)_{ij}(B)_{ij}.

Para matrices de diferentes dimensións ( $m \times n$ e $p \times q$ , onde $m \neq p$ ou $n \neq q$ ), o produto de Hadamard non está definido.

Por exemplo, o produto Hadamard para dúas matrices arbitrarias de 2 × 3 sería:

{\begin{bmatrix}2&3&1\\0&8&-2\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}3&1&4\\7&9&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 3&3\times 1&1\times 4\\0\times 7&8\times 9&-2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6&3&4\\0&72&-10\end{bmatrix}}

Teorema do produto de Schur

Artigo principal: Teorema do produto de Schur.

O produto de Hadamard de dúas matrices positivas-semidefinidas é positiva-semidefinida.^[2] Isto coñécese como o teorema do produto de Schur^[6]. Para dúas matrices positivas-semidefinidas $A$ e $B$ , tamén se sabe que o determinante do seu produto de Hadamard é maior ou igual ao produto dos seus respectivos determinantes:^[7]

\det({A}\odot {B})\geq \det({A})\det({B}).

Aplicacións

O produto Hadamard aparece en algoritmos de compresión con perdas como JPEG. O paso de decodificación implica un produto de elemento por elemento, noutras palabras, o produto Hadamard.

Tamén se usa para estudar as propiedades estatísticas de vectores aleatorios e matrices.^[8]^[9]

Notas

↑ Davis, Chandler (1962). "The norm of the Schur product operation". Numerische Mathematik 4 (1): 343–44. doi:10.1007/bf01386329.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Million, Elizabeth (April 12, 2007). "The Hadamard Product" (PDF). buzzard.ups.edu. Consultado o September 6, 2020.
↑ "Hadamard product - Machine Learning Glossary". machinelearning.wtf.
↑ "linear algebra - What does a dot in a circle mean?". Mathematics Stack Exchange.
↑ "Element-wise (or pointwise) operations notation?". Mathematics Stack Exchange.
↑ Million, Elizabeth. "The Hadamard Product" (PDF). Consultado o 2 January 2012.
↑ Styan, George P. H. (1973). Hadamard Products and Multivariate Statistical Analysis. Linear Algebra and Its Applications 6. pp. 217–240. doi:10.1016/0024-3795(73)90023-2.
↑ Neudecker, Heinz; Liu, Shuangzhe; Polasek, Wolfgang (1995). "The Hadamard product and some of its applications in statistics". Statistics 26 (4): 365–373. doi:10.1080/02331889508802503.
↑ Neudecker, Heinz; Liu, Shuangzhe (2001). "Some statistical properties of Hadamard products of random matrices". Statistical Papers 42 (4): 475–487. doi:10.1007/s003620100074.

Véxase tamén

Outros artigos

Punto a punto

Ligazóns externas

Hadamard Products of Linear Spaces (ArXiv).

[1] Davis, Chandler (1962). "The norm of the Schur product operation". Numerische Mathematik 4 (1): 343–44. doi:10.1007/bf01386329.

[:1-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Million, Elizabeth (April 12, 2007). "The Hadamard Product" (PDF). buzzard.ups.edu. Consultado o September 6, 2020.

[3] "Hadamard product - Machine Learning Glossary". machinelearning.wtf.

[4] "linear algebra - What does a dot in a circle mean?". Mathematics Stack Exchange.

[5] "Element-wise (or pointwise) operations notation?". Mathematics Stack Exchange.

[hadamardpdf1-6] Million, Elizabeth. "The Hadamard Product" (PDF). Consultado o 2 January 2012.

[styan1973-7] Styan, George P. H. (1973). Hadamard Products and Multivariate Statistical Analysis. Linear Algebra and Its Applications 6. pp. 217–240. doi:10.1016/0024-3795(73)90023-2.

[8] Neudecker, Heinz; Liu, Shuangzhe; Polasek, Wolfgang (1995). "The Hadamard product and some of its applications in statistics". Statistics 26 (4): 365–373. doi:10.1080/02331889508802503.

[9] Neudecker, Heinz; Liu, Shuangzhe (2001). "Some statistical properties of Hadamard products of random matrices". Statistical Papers 42 (4): 475–487. doi:10.1007/s003620100074.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]