Produto (teoría das categorías)

Na teoría das categorías, o produto de dous (ou máis) obxectos nunha categoría é unha noción deseñada para captar a esencia detrás das construcións noutras áreas das matemáticas, como o produto cartesiano de conxuntos, o produto directo de grupos ou aneis e o produto de espazos topolóxicos. Esencialmente, o produto dunha familia de obxectos é o obxecto "máis xeral" que admite un morfismo a cada un dos obxectos dados.

Definición

Produto de dous obxectos

Fixamos unha categoría $C.$ Sexan $X_{1}$ e $X_{2}$ obxectos de $C.$ Un produto de $X_{1}$ e $X_{2}$ é un obxecto $X,$ normalmente denotado $X_{1}\times X_{2},$ equipado cun par de morfismos $\pi _{1}:X\to X_{1},$ $\pi _{2}:X\to X_{2}$ que satisfán a seguinte propiedade universal:

• Para cada obxecto $Y$ e cada par de morfismos $f_{1}:Y\to X_{1},$ $f_{2}:Y\to X_{2},$ existe un morfismo único $f:Y\to X_{1}\times X_{2}$ tal que o seguinte diagrama conmuta:

  

  Propiedade universal do produto

A existencia dun produto pode depender de $C$ ou de$X_{1}$ e $X_{2}.$ Se existe, é único ata o isomorfismo canónico, por mor da propiedade universal, polo que se pode falar do produto. Isto ten o seguinte significado: se $X',\pi _{1}',\pi _{2}'$ é outro produto, existe un isomorfismo único $h:X'\to X_{1}\times X_{2}$ tal que $\pi _{1}'=\pi _{1}\circ h$ e $\pi _{2}'=\pi _{2}\circ h$.

Os morfismos $\pi _{1}$ e $\pi _{2}$ chámanse proxeccións canónicas ou morfismos de proxección; a letra $\pi$ alitera con proxección. Dado $Y$ e $f_{1},$$f_{2},$ o morfismo único $f$ chámase produto de morfismos $f_{1}$ e $f_{2}$ e pode ser denotado $\langle f_{1},f_{2}\rangle$, $f_{1}\times f_{2}$, ou $f_{1}\otimes f_{2}$.

Produto dunha familia arbitraria

En lugar de dous obxectos, podemos comezar cunha familia arbitraria de obxectos indexados por un conxunto $I.$

Dada unha familia $\left(X_{i}\right)_{i\in I}$ dos obxectos, un produto da familia é un obxecto $X$ equipado con morfismos $\pi _{i}:X\to X_{i},$ a satisfacer a seguinte propiedade universal:

• Para cada obxecto $Y$ e cada $I$-familia indexada de morfismos $f_{i}:Y\to X_{i},$ existe un morfismo único $f:Y\to X$ de tal xeito que os seguintes diagramas conmutan para tódolos $i\in I:$

  

  Produto universal do produto

O produto denótase como $\prod _{i\in I}X_{i}.$ Se $I=\{1,\ldots ,n\},$ entón denótase como $X_{1}\times \cdots \times X_{n}$ e o produto dos morfismos denótase como $\langle f_{1},\ldots ,f_{n}\rangle .$

Definición mediante ecuacións

Alternativamente, o produto pódese definir mediante ecuacións. Así, por exemplo, para o produto binario:

• A existencia de $f$ está garantida pola existencia da operación $\langle \cdot ,\cdot \rangle .$
• A conmutatividade dos diagramas anteriores está garantida pola igualdade: para todos os $f_{1},f_{2}$ e todo $i\in \{1,2\},$ $\pi _{i}\circ \left\langle f_{1},f_{2}\right\rangle =f_{i}$
• A singularidade de $f$ está garantida pola igualdade: para tódolos $g:Y\to X_{1}\times X_{2},$$\left\langle \pi _{1}\circ g,\pi _{2}\circ g\right\rangle =g.$

Como límite

O produto é un caso especial de límite (teoría das categorías).

Isto pódese ver usando unha categoría discreta (unha familia de obxectos sen ningún morfismo, alén dos seus morfismos de identidade) como o diagrama necesario para a definición do límite.

Os obxectos discretos servirán como índice dos compoñentes e proxeccións. Se consideramos este diagrama como un functor, é un functor do conxunto de índices $I$ considerado como unha categoría discreta.

A definición do produto coincide logo coa definición do límite, $\{f\}_{i}$ sendo un cono e as proxeccións sendo o límite (cono limitante).

Exemplos

Na categoría de conxuntos, o produto (no sentido teórico da categoría) é o produto cartesiano. Dada unha familia de conxuntos $X_{i}$ o produto defínese como $$\prod _{i\in I}X_{i}:=\left\{\left(x_{i}\right)_{i\in I}:x_{i}\in X_{i}{\text{ para todo }}i\in I\right\}$$ coas proxeccións canónicas $$\pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j},\quad \pi _{j}\left(\left(x_{i}\right)_{i\in I}\right):=x_{j}.$$ Dado calquera conxunto $Y$ cunha familia de funcións $f_{i}:Y\to X_{i},$ a frecha universal $f:Y\to \prod _{i\in I}X_{i}$ está definida por $f(y):=\left(f_{i}(y)\right)_{i\in I}.$

Outros exemplos:

• Na categoría de espazos topolóxicos, o produto é o espazo cuxo conxunto subxacente é o produto cartesiano e que leva a topoloxía do produto. A topoloxía do produto é a topoloxía máis grosa (máis débil) para a cal todas as proxeccións son continuas.
• Na categoría de módulos sobre algún anel $R,$ o produto é o produto cartesiano con suma definida por compoñentes e multiplicación distributiva.
• Na categoría de grupos, o produto é o produto directo de grupos dado polo produto cartesiano coa multiplicación definida por compoñentes.
• Un conxunto parcialmente ordenado pódese tratar como unha categoría, utilizando a relación de orde como os morfismos. Neste caso, os produtos e coprodutos corresponden aos límites inferiores maiores (meets) e mínimos límites superiores (joins).

Distributividade

Para calquera obxecto $X,Y{\text{ e }}Z$ dunha categoría con produtos finitos e coprodutos, existe un morfismo canónico $X\times Y+X\times Z\to X\times (Y+Z),$ onde o signo máis aquí indica o coproduto. Para ver isto, teña en conta que a propiedade universal do coproduto $X\times Y+X\times Z$ garante a existencia de frechas únicas enchendo o seguinte diagrama (as frechas inducidas son as descontinuas):

A propiedade universal do produto $X\times (Y+Z)$ garante logo un morfismo único $X\times Y+X\times Z\to X\times (Y+Z)$ inducido polas frechas descontinuas do diagrama anterior.

Unha categoría distributiva é aquela na que este morfismo é realmente un isomorfismo. Así, nunha categoría distributiva, existe o isomorfismo canónico $$X\times (Y+Z)\simeq (X\times Y)+(X\times Z).$$

Véxase tamén

Bibliografía

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. 
• Barr, Michael; Charles Wells (1999). Category Theory for Computing Science (PDF). Les Publications CRM Montreal (publication PM023). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2016-03-04. Consultado o 2016-03-21.  Chapter 5.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8. 
• Definition 2.1.1 in Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. Encyclopedia of mathematics and its applications 50–51, 53 [i.e. 52] 1. Cambridge University Press. p. 39. ISBN 0-521-44178-1. 

Outros artigos

• Límite (teoría das categorías)
• Coproduto
• Límite inverso
• Produto cartesiano

Ligazóns externas

• Páxina Interactiva que xera exemplos de produtos na categoría de conxuntos finitos.
• Product at the nLab