Polinomios ortogonais

En matemáticas, unha secuencia polinómica ortogonal é unha familia de polinomios tal que dous polinomios diferentes da secuencia son ortogonais entre si baixo algún produto interno.

Os polinomios ortogonais máis utilizados son os polinomios ortogonais clásicos, formados polos polinomios de Hermite, os polinomios de Laguerre e os polinomios de Jacobi. Os polinomios de Gegenbauer forman a clase máis importante de polinomios de Jacobi; inclúen os polinomios de Chebyshev e os polinomios de Legendre como casos especiais. Estes son frecuentemente dados pola fórmula de Rodrigues.

O campo dos polinomios ortogonais desenvolveuse a finais do século XIX a partir dun estudo de fraccións continuas por PL Chebyshev e seguírono AA Markov e TJ Stieltjes.

Definición de caso de 1 variábel para unha medida real

Dada calquera función non decrecente α sobre os números reais, podemos definir a integral de Lebesgue-Stieltjes

$\int f(x)\,d\alpha (x)$

dunha función f. Se esta integral é finita para todos os polinomios f, podemos definir un produto interno en pares de polinomios f e g por

$\langle f,g\rangle =\int f(x)g(x)\,d\alpha (x).$

Esta operación é un produto interno semidefinido positivo no espazo vectorial de todos os polinomios, e é definido positivo se a función α ten un número infinito de puntos de crecemento. Induce unha noción de ortogonalidade do xeito habitual, é dicir, que dous polinomios son ortogonais se o seu produto interno é cero.

Logo a secuencia (P_n)∞
n=0 de polinomios ortogonais está definido polas relacións

$\deg P_{n}=n~,\quad \langle P_{m},\,P_{n}\rangle =0\quad {\text{for}}\quad m\neq n~.$

Noutras palabras, a secuencia obtense a partir da secuencia de monomios 1, x, x ², ... polo proceso de Gram-Schmidt en relación a este produto interno.

Normalmente a secuencia debe ser ortonormal, é dicir,

$\langle P_{n},P_{n}\rangle =1,$

porén, ás veces utilízanse outras normalizacións.

Caso absolutamente continuo

Ás veces temos

$d\alpha (x)=W(x)\,dx$

onde $W:[x_{1},x_{2}]\to \mathbb {R}$é unha función non negativa con soporte nalgún intervalo [x₁, x₂] na recta real estendida (onde se permiten x₁ = −∞ e x₂ = ∞).

Tal W chámase función de peso. Así o produto interno vén dado por

$\langle f,g\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)g(x)W(x)\,dx.$Porén, hai moitos exemplos de polinomios ortogonais onde a medida dα(x) ten puntos con medida distinta de cero onde a función α é descontinua, polo que non se pode dar cunha función de peso W como a anterior.

Exemplos de polinomios ortogonais

Os polinomios ortogonais máis usados son ortogonais para unha medida con soporte nun intervalo real. Isto inclúe:

• Os polinomios ortogonais clásicos (polinomios de Jacobi, polinomios de Laguerre, polinomios de Hermite, e os seus casos especiais polinomios de Gegenbauer, polinomios de Chebyshev e polinomios de Legendre).
• Os polinomios de Wilson, que xeneralizan os polinomios de Jacobi. Inclúen moitos polinomios ortogonais como casos especiais, como os polinomios de Meixner-Pollaczek, os polinomios de Hahn continuos, os polinomios de Hahn duais continuos e os polinomios clásicos, descritos polo esquema de Askey.
• Os polinomios de Askey-Wilson introducen un parámetro q extra nos polinomios de Wilson.

Tamén se poden considerar polinomios ortogonais para algunha curva no plano complexo. O caso máis importante (aparte dos intervalos reais) é cando a curva é a circunferencia unitaria, dando polinomios ortogonais na circunferencia unitaria, como os polinomios de Rogers-Szegő.

Hai algunhas familias de polinomios ortogonais que son ortogonais en rexións planas como triángulos ou discos. Ás veces poden escribirse en termos de polinomios de Jacobi. Por exemplo, os polinomios de Zernike son ortogonais no disco unitario.

Propiedades

Os polinomios ortogonais dunha variábel definida por unha medida non negativa na recta real teñen as seguintes propiedades.

Relación cos momentos

Os polinomios ortogonais P_n poden expresarse en función dos momentos

$m_{n}=\int x^{n}\,d\alpha (x)$

do seguinte xeito:

$P_{n}(x)=c_{n}\,\det {\begin{bmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n-1}&m_{n}&m_{n+1}&\cdots &m_{2n-1}\\1&x&x^{2}&\cdots &x^{n}\end{bmatrix}}~,$

onde as constantes c_n son arbitrarias (dependen da normalización de P_n ).

Isto vén directamente de aplicar o proceso de Gram-Schmidt aos monomios, impoñendo que cada polinomio sexa ortogonal en relación aos anteriores. Por exemplo, a ortogonalidade con $P_{0}$ prescribe que $P_{1}$ debe ter a forma

$P_{1}(x)=c_{1}\left(x-{\frac {\langle P_{0},x\rangle P_{0}}{\langle P_{0},P_{0}\rangle }}\right)=c_{1}(x-m_{1}),$

que se pode ver que é coherente coa expresión dada anteriormente co determinante.

Relación de recorrencia

Os polinomios P_n satisfán unha relación de recorrencia da forma

$P_{n}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n-1}(x)+C_{n}P_{n-2}(x)$

onde A _n non é 0. O recíproco tamén é certo; ver o teorema de Favard.

Ceros

Se a medida dα está soportada nun intervalo [a , b], todos os ceros de P_n están en [a, b]. Alén disto, os ceros teñen a seguinte propiedade de entrelazado: se m < n, hai un cero de P_n entre dous ceros calquera de P_m.

Outros tipos de polinomios ortogonais

Polinomios ortogonais multivariantes

Os polinomios de Macdonald son polinomios ortogonais en varias variábeis, dependendo da elección dun sistema raíz afín. Inclúen moitas outras familias de polinomios ortogonais multivariábeis como casos especiais, incluíndo os polinomios de Jack, os polinomios de Hall-Littlewood, os polinomios de Heckman-Opdam e os polinomios de Koornwinder. Os polinomios de Askey-Wilson son o caso especial dos polinomios de Macdonald para un determinado sistema raíz non reducido de rango 1.

Polinomios ortogonais múltiples

Os polinomios ortogonais múltiples son polinomios nunha variábel que son ortogonais en relación a unha familia finita de medidas.

Polinomios ortogonais de Sobolev

Trátase de polinomios ortogonais en relación a un produto interno de Sobolev, é dicir, un produto interno con derivadas. Incluír derivadas ten grandes consecuencias para os polinomios, en xeral xa non comparten algunhas das características agradábeis dos polinomios ortogonais clásicos.

Polinomios ortogonais con matrices

Os polinomios ortogonais con matrices teñen ou ben coeficientes que son matrices ou o indeterminado é unha matriz.

Hai dous exemplos populares: ou os coeficientes $\{a_{i}\}$ son matrices ou $x$ son matrices:

• Variante 1: $P(x)=A_{n}x^{n}+A_{n-1}x^{n-1}+\cdots +A_{1}x+A_{0}$, onde $\{A_{i}\}$ son matrices $p\times p$.
• Variante 2: $P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}I_{p}$ onde $X$ é unha matriz $p\times p$ e $I_{p}$ é a matriz identidade.

Véxase tamén

Bibliografía

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983). "Chapter 22". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (decembro 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 6512253. 
• Chihara, Theodore Seio (1978). An Introduction to Orthogonal Polynomials. Gordon and Breach, New York. ISBN 0-677-04150-0. 
• Chihara, Theodore Seio (2001). "45 years of orthogonal polynomials: a view from the wings". Proceedings of the Fifth International Symposium on Orthogonal Polynomials, Special Functions and their Applications (Patras, 1999). Journal of Computational and Applied Mathematics 133 (1): 13–21. Bibcode:2001JCoAM.133...13C. ISSN 0377-0427. MR 1858267. doi:10.1016/S0377-0427(00)00632-4. 
• Foncannon, J. J.; Foncannon, J. J.; Pekonen, Osmo (2008). "Review of Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable by Mourad Ismail". The Mathematical Intelligencer (Springer New York) 30: 54–60. ISSN 0343-6993. doi:10.1007/BF02985757. 
• Ismail, Mourad E. H. (2005). Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Cambridge: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-78201-5. 
• Jackson, Dunham (2004) [1941]. Fourier Series and Orthogonal Polynomials. New York: Dover. ISBN 0-486-43808-2. 
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010). "Orthogonal Polynomials". En Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5. MR 2723248. .
• "Orthogonal polynomials". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• Szegő, Gábor (1939). Orthogonal Polynomials. Colloquium Publications. XXIII. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1023-1. MR 0372517. 
• Totik, Vilmos (2005). "Orthogonal Polynomials". Surveys in Approximation Theory 1: 70–125. arXiv:math.CA/0512424. 
• C. Chan, A. Mironov, A. Morozov, A. Sleptsov, arXiv:math.GR/1712.03155.
• Herbert Stahl and Vilmos Totik: General Orthogonal Polynomials, Cambridge Univ. Press, ISBN 978-0-521-41534-7 (1992).
• G. Sansone: Orthogonal Functions, (Revised English Edition), Dover, ISBN 978-0-486-77730-0 (1991).

Outros artigos

• Sucesión de Appell
• Esquema de Askey ou polinomios ortogonais hiperxeométricos
• Teorema de Favard
• Polynomial sequences of binomial type
• Serie de Fourier xeneralizada
• Medida secundaria
• Sucesión de Sheffer
• Teoría de Sturm-Liouville
• Cálculo sombra