Polinomio mónico

En álxebra, un polinomio mónico é un polinomio univariado distinto de cero (é dicir, un polinomio nunha única variábel) no que o coeficiente principal (o coeficiente distinto de cero do grao máis alto) é igual a 1. É dicir, un polinomio mónico é aquel que se pode escribir como ^[1]

x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},

con $n\geq 0.$

Usos

Os polinomios mónicos son moi utilizados en álxebra e teoría de números, xa que producen moitas simplificacións e evitan divisións e denominadores. Por exemplo:

Todo polinomio está asociado a un único polinomio mónico. En particular, a propiedade de factorización única dos polinomios pódese afirmar como: Todo polinomio pode factorizarse de forma única como o produto do seu coeficiente principal e un produto de polinomios irredutíbeis mónicos.

A división euclidiana dun polinomio por un polinomio mónico non introduce divisións de coeficientes. Polo tanto, defínese para polinomios con coeficientes nun anel conmutativo.

Propiedades

Un produto de polinomios mónicos é mónico. Un produto de polinomios é mónico se e só se o produto dos coeficientes principais dos factores é igual $1$ .

Isto implica que, os polinomios mónicos nun anel polinómico univariado sobre un anel conmutativo forman un monoide baixo a multiplicación polinómica.

Ecuacións polinómicas

Sexa $P(x)$ ser unha ecuación polinómica, onde $P$ é un polinomio univariado de grao $n$ . Se se dividen todos os coeficientes de $P$ polo seu coeficiente principal $c_{n},$ obtense unha nova ecuación polinómica que ten as mesmas solucións e consiste en equiparar a cero un polinomio mónico.