Polígono regular
En xeometría, denomínase polígono regular a un polígono con lados e ángulos interiores iguais entre si. Os polígonos regulares de tres e catro lados chámanse triángulo equilátero e cadrado, respectivamente. Para polígonos de máis lados, engádese o termo regular (pentágono regular, hexágono regular, octógono regular etc). Só algúns polígonos regulares poden ser construídos con regra e compás.[1]
Elementos dun polígono regular[editar | editar a fonte]
- Lado, L: é cada un dos segmentos que forman o polígono.
- Vértice, V: o punto de unión de dous lados consecutivos.
- Centro, C: o punto central equidistante de todos os vértices.
- Raio, r: o segmento que une o centro do polígono cun dos seus vértices.
- Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, ata o centro do polígono.
- Diagonal, d: segmento que une dous vértices non contiguos.
- Perímetro, P: é a suma da medida da súa contorna.
- Semiperímetro, SP: é a semisuma do perímetro.
- Saxita, S: parte do raio comprendida entre o punto medio do lado e o arco de circunferencia. A suma do apotema: a máis a saxita: S, é igual ao raio: r.
Propiedades dun polígono regular[editar | editar a fonte]
- os polígonos regulares son equiláteros, posto que todos os seus lados son da mesma medida.
- os polígonos regulares son equiangulares, posto que todos os seus ángulos interiores teñen a mesma medida.
- os polígonos regulares pódense inscribir nunha circunferencia.
Ángulos dun polígono regular[editar | editar a fonte]
- Todos os ángulos centrais dun polígono regular son congruentes e a súa medida α pode obterse a partir do número de lados n do polígono como segue:
- en graos sexaxesimais
- en radiáns
- O ángulo interior, , dun polígono regular mide:
- en graos sexaxesimais
- en radiáns
- A suma dos ángulos interiores, , dun polígono regular é de:
- en graos sexaxesimais
- en radiáns
- O ángulo exterior, , dun polígono regular é de:
- en graos sexaxesimais
- en radiáns
- A suma dos ángulos exteriores, , dun polígono regular é:
- en graos sexaxesimais
- en radiáns
Galería de polígonos regulares[editar | editar a fonte]
Triángulo equilátero (Triángulo regular) (3)
Cadrado (cuadrilátero regular) (4)
Pentágono regular (5)
Hexágono regular (6)
Heptágono regular (7)
Octógono regular (8)
Eneágono regular (9)
Decágono regular (10)
hendecágono regular (11)
Dodecágono regular (12)
Tridecágono regular (13)
Tetradecágono regular (14)
Observación: A medida que aumenta o número de lados dun polígono regular, aseméllase máis a unha circunferencia.
Área dun polígono regular[editar | editar a fonte]
Existen diversas fórmulas para calcular a área dun polígono regular, dependendo dos elementos coñecidos.
En función do perímetro e o apotema[editar | editar a fonte]
A área dun polígono regular, coñecendo o perímetro e o apotema é:
- Partindo do triángulo que ten por base un lado L, do polígono e altura o seu apotema a, a área deste triángulo, é:
- Un polígono de n lados, ten n destes triángulos, polo tanto a área do polígono será:
- Sabendo que a lonxitude dun lado L, polo número n de lados, é o perímetro P, tense:
En función do número de lados e o apotema[editar | editar a fonte]
Sabendo que:
Ademais , xa que é a metade dun ángulo central (considerado en radiáns).
Observando a imaxe, é posible deducir que:
Substituíndo o lado:
Finalmente:
Con esta fórmula pódese determinar a área co número de lados e o apotema, sen necesidade de recorrer ao perímetro.
En función do número de lados e o raio[editar | editar a fonte]
Un polígono queda perfectamente definido polo seu número de lados n, e o raio r, polo tanto pódese determinar cal é a súa área; á vista da figura, tense que:
onde o ángulo central é:
sabendo que a área dun polígono é:
e substituíndo o valor do lado e o apotema calculados antes, tense:
ordenando:
sabendo que:
resulta:
ou o que é o mesmo:
Con esta expresión pódese calcular a área do polígono, coñecendo só o número de lados e o seu raio, o que resulta útil en moitos casos.
En función da lonxitude e o número de lados[editar | editar a fonte]
Se se quere expresar a área en función do lado, pódese calculalo da seguinte maneira:
Sexa o ángulo formado polo Lado "L" e o raio "r":
O valor do apotema en función do lado será, pola definición da tanxente:
Despexando o apotema tense:
Substituíndo o apotema polo seu valor:
Pódese ver no debuxo que e a fórmula pode escribirse tamén como .
Co que coñecendo o número de lados do polígono regular e a lonxitude do lado pódese calcular a súa superficie.
Diagonais dun polígono regular[editar | editar a fonte]
Número de diagonais[editar | editar a fonte]
Para determinar o número de diagonais Nd, dun polígono de n vértices realízase o seguinte razoamento:
- Dun vértice calquera partirán (n – 3) diagonais, onde n é o número de vértices, dado que non hai ningún diagonal que o unha consigo mesmo nin con ningún dos dous vértices contiguos.
- Isto é válido para os n vértices do polígono.
- Unha diagonal une dous vértices, polo que aplicando o razoamento anterior teríanse o dobre de diagonais das existentes.
Segundo o razoamento tense que:
Lonxitude da diagonal máis pequena[editar | editar a fonte]
A diagonal máis pequena dun polígono regular é a que une dous vértices alternos. Para determinar a súa lonxitude, pártese do ángulo central e do raio, o raio que pasa polo vértice intermedio, corta a diagonal no punto A; este raio e a diagonal son perpendiculares en A.
O triángulo VAC é rectángulo en A, polo tanto:
que resulta:
de onde se deduce que:
Sabendo o valor do ángulo central:
A diagonal máis pequena dun polígono regular, só depende do raio e do número de lados, sendo maior canto maior sexa o raio e diminuíndo de lonxitude cando aumenta o número de lados do polígono.
Lonxitude das diagonais[editar | editar a fonte]
En xeral a lonxitude das diagonais dun polígono regular vén dada pola relación de recorrencia
Notas[editar | editar a fonte]
- ↑ RegularPolygon en MathWorld
Véxase tamén[editar | editar a fonte]
Bibliografía[editar | editar a fonte]
- Echegaray, José (2001). Xeometría: ángulos, polígonos e circunferencias (en castelán) (1 ed.). Editorial Bruño. p. 32. ISBN 978-84-216-4219-1.
- Equipo: Rosalía de Castro (2000). Xeometría, polígonos, circunferencia e círculo (en castelán) (1 ed.). Editorial Acueducto, S.L. p. 32. ISBN 978-84-95523-32-7.
- Xeometría, polígonos, circunferencia e círculo, Educación Primaria (en español) (1 ed.). Editorial Escudo, S.L. 1997. p. 32. ISBN 978-84-89833-36-4.