Polígono regular

En xeometría, denomínase polígono regular a un polígono con lados e ángulos interiores iguais entre si. Os polígonos regulares de tres e catro lados chámanse triángulo equilátero e cadrado, respectivamente. Para polígonos de máis lados, engádese o termo regular (pentágono regular, hexágono regular, octógono regular etc). Só algúns polígonos regulares poden ser construídos con regra e compás.

Elementos dun polígono regular

• Lado, L: é cada un dos segmentos que forman o polígono.
• Vértice, V: o punto de unión de dous lados consecutivos.
• Centro, C: o punto central equidistante de todos os vértices.
• Raio, r: o segmento que une o centro do polígono cun dos seus vértices.
• Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, ata o centro do polígono.
• Diagonal, d: segmento que une dous vértices non contiguos.
• Perímetro, P: é a suma da medida da súa contorna.
• Semiperímetro, SP: é a semisuma do perímetro.
• Saxita, S: parte do raio comprendida entre o punto medio do lado e o arco de circunferencia. A suma do apotema: a máis a saxita: S, é igual ao raio: r.

Propiedades dun polígono regular

• os polígonos regulares son equiláteros, posto que todos os seus lados son da mesma medida.
• os polígonos regulares son equiangulares, posto que todos os seus ángulos interiores teñen a mesma medida.
• os polígonos regulares pódense inscribir nunha circunferencia.

Ángulos dun polígono regular

Ángulos dun polígono regular.

• Todos os ángulos centrais dun polígono regular son congruentes e a súa medida α pode obterse a partir do número de lados n do polígono como segue:

$\alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;$ en graos sexaxesimais

$\alpha ={\frac {2\pi }{n}}\;$ en radiáns

• O ángulo interior, $\beta \,$, dun polígono regular mide:

$\beta =180^{\circ }\cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;$ en graos sexaxesimais

$\beta =\pi \cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;$ en radiáns

• A suma dos ángulos interiores, $\sum \beta \;$, dun polígono regular é de:

$\sum \beta =180^{\circ }\cdot {(n-2)}\;$ en graos sexaxesimais

$\sum \beta =\pi \cdot {(n-2)}\;$ en radiáns

• O ángulo exterior, $\gamma \;$, dun polígono regular é de:

$\gamma =180^{\circ }-\beta ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;$ en graos sexaxesimais

$\gamma =\pi -\beta ={\frac {2\pi }{n}}\;$ en radiáns

• A suma dos ángulos exteriores, $\sum \gamma \,$, dun polígono regular é:

$\sum \gamma =360^{\circ }\;$ en graos sexaxesimais

$\sum \gamma =2\pi \;$ en radiáns

Galería de polígonos regulares

• 

  Triángulo equilátero (Triángulo regular) (3)

• 

  Cadrado (cuadrilátero regular) (4)

• 

  Pentágono regular (5)

• 

  Hexágono regular (6)

• 

  Heptágono regular (7)

• 

  Octógono regular (8)

• 

  Eneágono regular (9)

• 

  Decágono regular (10)

• 

  hendecágono regular (11)

• 

  Dodecágono regular (12)

• 

  Tridecágono regular (13)

• 

  Tetradecágono regular (14)

Observación: A medida que aumenta o número de lados dun polígono regular, aseméllase máis a unha circunferencia.

Área dun polígono regular

Existen diversas fórmulas para calcular a área dun polígono regular, dependendo dos elementos coñecidos.

En función do perímetro e o apotema

A área dun polígono regular, coñecendo o perímetro e o apotema é:

$A={\frac {P\cdot a}{2}}$

• Partindo do triángulo que ten por base un lado L, do polígono e altura o seu apotema a, a área de este triángulo, é:

$A_{t}={\frac {L\cdot a}{2}}\;$

• Un polígono de n lados, ten n destes triángulos, polo tanto a área do polígono será:

$A_{p}={\frac {L\cdot a}{2}}\cdot n\;$

• Sabendo que a lonxitude dun lado L, polo número n de lados, é o perímetro P, tense:

$A_{p}={\frac {P\cdot a}{2}}\;$

En función do número de lados e o apotema

Sabendo que:

$A_{p}={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}$

Ademais $\delta ={\frac {\pi }{n}}\$, xa que é a metade dun ángulo central (considerado en radiáns).

Observando a imaxe, é posible deducir que:

$L=2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)$

Substituíndo o lado:

$A_{p}={\frac {\left(2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right)\cdot n\cdot a}{2}}$

Finalmente:

$A_{p}=a^{2}\cdot n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)$

Con esta fórmula pódese determinar a área co número de lados e o apotema, sen necesidade de recorrer ao perímetro.

En función do número de lados e o raio

Un polígono queda perfectamente definido polo seu número de lados n, e o raio r, polo tanto pódese determinar cal é a súa área; á vista da figura, tense que:

$L=2r\sin({\delta })\;$

$a=r\cos({\delta })\;$

onde o ángulo central é:

$\alpha =2\delta ={\frac {2\pi }{n}}\;$

sabendo que a área dun polígono é:

$A_{p}={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\;$

e substituíndo o valor do lado e o apotema calculados antes, tense:

$A_{p}={\frac {2r\sin({\delta })\cdot n\cdot r\cos({\delta })}{2}}\;$

ordenando:

$A_{p}={\frac {nr^{2}\cdot 2\sin({\delta })\cos({\delta })}{2}}\;$

sabendo que:

$2\sin({\delta })\cos({\delta })=\sin({2\delta })\;$

resulta:

$A_{p}={\frac {nr^{2}\sin({\alpha })}{2}}\;$

ou o que é o mesmo:

$A_{p}={\frac {nr^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{2}}\;$

Con esta expresión pódese calcular a área do polígono, coñecendo só o número de lados e o seu raio, o que resulta útil en moitos casos.

En función da lonxitude e o número de lados

Se se quere expresar a área en función do lado, pódese calculalo da seguinte maneira:

$A_{p}=n\cdot {\frac {L\cdot a}{2}}$

Sexa $\varphi$ o ángulo formado polo Lado "L" e o raio "r":

$\varphi ={\frac {\pi -\alpha }{2}}\ ={\frac {\pi -{\frac {2\pi }{n}}}{2}}\ ={\frac {\pi }{2}}\;{\frac {(n-2)}{n}}$

O valor do apotema en función do lado será, pola definición da tanxente:

$\tan \varphi ={\frac {a}{\frac {L}{2}}}={\frac {2a}{L}}$

Despexando o apotema tense:

$a={\frac {L\cdot \tan \varphi }{2}}$

Substituíndo o apotema polo seu valor:

$\left.{\begin{array}{l}A_{p}=n\cdot {\cfrac {L\cdot a}{2}}\\\\a={\cfrac {L\cdot \tan \varphi }{2}}\\\\\varphi ={\cfrac {\pi }{2}}\;{\cfrac {(n-2)}{n}}\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad A_{p}=n\cdot {\cfrac {L^{2}}{4}}\cdot \tan \left({\cfrac {\pi }{2}}\;{\cfrac {(n-2)}{n}}\right)$

Pódese ver no debuxo que $tan(\delta )={\frac {1}{tan(\varphi )}}$ e a fórmula pode escribirse tamén como $A_{p}={\frac {n\cdot L^{2}}{4\cdot \tan \left({\frac {180^{o}}{n}}\right)}}$.

Co que coñecendo o número de lados do polígono regular e a lonxitude do lado pódese calcular a súa superficie.

Diagonais dun polígono regular

Número de diagonais

Para determinar o número de diagonais N_d, dun polígono de n vértices realízase o seguinte razoamento:

• Dun vértice calquera partirán (n – 3) diagonais, onde n é o número de vértices, dado que non hai ningún diagonal que o unha consigo mesmo nin con ningún dos dous vértices contiguos.
• Isto é válido para os n vértices do polígono.
• Unha diagonal une dous vértices, polo que aplicando o razoamento anterior teríanse o dobre de diagonais das existentes.

Segundo o razoamento tense que:

$N_{d}={\frac {n(n-3)}{2}}$

Lonxitude da diagonal máis pequena

A diagonal máis pequena dun polígono regular é a que une dous vértices alternos. Para determinar a súa lonxitude, pártese do ángulo central e do raio, o raio que pasa polo vértice intermedio, corta a diagonal no punto A; este raio e a diagonal son perpendiculares en A.

O triángulo VAC é rectángulo en A, polo tanto:

$\sin({\alpha })={\frac {\frac {d}{2}}{r}}$

que resulta:

$\sin({\alpha })={\frac {d}{2r}}$

de onde se deduce que:

$d=2r\sin({\alpha })\,$

Sabendo o valor do ángulo central:

$d=2r\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)$

A diagonal máis pequena dun polígono regular, só depende do raio e do número de lados, sendo maior canto maior sexa o raio e diminuíndo de lonxitude cando aumenta o número de lados do polígono.

Lonxitude das diagonais

En xeral a lonxitude das diagonais dun polígono regular vén dada pola relación de recorrencia

$d_{k}^{2}=L^{2}+d_{k-1}^{2}+2\cdot L\cdot d_{k-1}\cdot \cos {\left({\frac {k+1}{n}}\pi \right)}$

$L=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)$

$d_{1}=4\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\right)$

$d_{2}=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right){\sqrt {1+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)}}$

$d_{3}^{2}=4\cdot r^{2}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)\left(2+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)+2{\sqrt {1+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)}}\cos \left({\frac {4\cdot \pi }{n}}\right)\right)$

$...$

$d_{k}=r\cdot {\sqrt {2\left(1-\cos \left({\frac {2\left(k+1\right)\pi }{n}}\right)\right)}}$

$d_{k}=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\left(k+1\right)\pi }{n}}\right)$

Véxase tamén

Bibliografía

• Echegaray, José (2001). Xeometría: ángulos, polígonos e circunferencias (en castelán) (1 ed.). Editorial Bruño. p. 32. ISBN 978-84-216-4219-1. 
• Equipo: Rosalía de Castro (2000). Xeometría, polígonos, circunferencia e círculo (en castelán) (1 ed.). Editorial Acueducto, S.L. p. 32. ISBN 978-84-95523-32-7. 
• Xeometría, polígonos, circunferencia e círculo, Educación Primaria (en español) (1 ed.). Editorial Escudo, S.L. 1997. p. 32. ISBN 978-84-89833-36-4. 

Ligazóns externas

• Polígono regular