Pechamento (topoloxía)

En topoloxía, o pechamento ou peche dun subconxunto S de puntos nun espazo topolóxico consiste en todos os puntos en S xunto con todos os puntos límite de S (ou puntos de acumulación de S). O pechamento de S pódese definir equivalentemente como a unión de S e a súa fronteira, e tamén como a intersección de todos os conxuntos pechados que conteñan S. Intuitivamente, o pechamento pódese pensar como todos os puntos que están en S ou "moi preto" de S. Un punto que está no pechamento de S é un punto adherente de S. A noción de pechamento é en moitos sentidos dual á noción de interior.

Definicións

Punto adherente ou de pechamento

Para $S$ como un subconxunto dun espazo euclidiano, $x$ é un punto adherente de $S$ se toda bóla aberta centrada en $x$ contén un punto de $S$ (este punto pode ser o propio $x$).

Esta definición xeneralízase a calquera subconxunto $S$ dun espazo métrico $X.$ Para $X$ como un espazo métrico con métrica $d,$ $x$ é un punto de peche de $S$ se por todo $r>0$ hai algún $s\in S$ tal que a distancia $d(x,s)<r$ ( $x=s$ está permitido). Outra forma de expresalo é dicir que $x$ é un punto de peche de $S$ se a distancia $d(x,S):=\inf _{s\in S}d(x,s)=0$ onde $\inf$ é o ínfimo.

Esta definición xeneralízase aos espazos topolóxicos substituíndo "bóla aberta" ou "bóla" por "veciñanza". Sexa $S$ un subconxunto dun espazo topolóxico $X.$ Logo $x$ é un punto de adherencia ou punto de pechamento de $S$ se toda veciñanza de $x$ contén un punto de $S$ (de novo, $x=s$ para $s\in S$ está permitido). Teña en conta que esta definición non depende de se as veciñanzas deben ser abertos.

A definición de punto de peche dun conxunto está intimamente relacionada coa definición de punto límite dun conxunto. A diferenza entre as dúas definicións é sutil pero importante, é dicir, na definición dun punto límite $x$ dun conxunto $S$, cada veciñanza de $x$ debe conter un punto de $S$ outro distinto do propio $x$, é dicir, cada veciñanza de $x$ obviamente ten $x$ pero tamén debe ter un punto de $S$ que non sexa igual a $x$ co fin de $x$ ser un punto límite de $S$. Un punto límite de $S$ ten unha condición máis estrita que un punto de peche de $S$ nas definicións. Un punto límite dun conxunto tamén se denomina punto de acumulación do conxunto.

Así, todo punto límite é un punto de peche, mais non todos os puntos de peche son un punto límite. Un punto de peche que non é un punto límite é un punto illado. Noutras palabras, un punto $x$ é un punto illado de $S$ se é un elemento de $S$ e hai unha veciñanza de $x$ que non contén outros puntos de $S$ mais que o propio $x$.

Para un conxunto dado $S$ e un punto $x,$ $x$ é un punto de peche de $S$ se e só se $x$ é un elemento de $S$ ou $x$ é un punto límite de $S$ (ou ambos os dous).

Pechamento dun conxunto

O pechamento dun subconxunto $S$ dun espazo topolóxico $(X,\tau ),$ denotado por $\operatorname {cl} _{(X,\tau )}S$ ou posibelmente por $\operatorname {cl} _{X}S$ (se sobrentendemos $\tau$), e se ambos $X$ e $\tau$ son claros polo contexto, entón tamén se pode denotar por $\operatorname {cl} S,$${\overline {S}},$ ou $S{}^{-}$ (a maiores, $\operatorname {cl}$ ás veces está escrita en maiúscula $\operatorname {Cl}$) pódese definir mediante calquera das seguintes definicións equivalentes:

1. $\operatorname {cl} S$ é o conxunto de todos os puntos de peche de $S.$
2. $\operatorname {cl} S$ é o conxunto $S$ xunto con todos os seus puntos límite. (Cada punto de $S$ é un punto de peche de $S$, e cada punto límite de $S$é tamén un punto de peche de $S$.)
3. $\operatorname {cl} S$ é a intersección de todos os conxuntos pechados contendo $S.$
4. $\operatorname {cl} S$ é o conxunto pechado máis pequeno que contén $S.$
5. $\operatorname {cl} S$ é a unión de $S$ e a súa fronteira $\partial (S).$
6. $\operatorname {cl} S$ é o conxunto de tódolos $x\in X$ para o que existe unha secuencia xeneralizada (valorada) en $S$ que converxe a $x$ en $(X,\tau ).$

O peche dun conxunto ten as seguintes propiedades.

• $\operatorname {cl} S$ é un superconxunto pechado de $S$.
• O conxunto $S$ está pechado se e só se $S=\operatorname {cl} S$ .
• Se $S\subseteq T$ entón $\operatorname {cl} S$ é un subconxunto de $\operatorname {cl} T.$
• Se $A$ é un conxunto pechado, entón $A$ contén $S$ se e só se $A$ contén $\operatorname {cl} S.$

Nun espazo primeiro numerábel (como un espazo métrico), $\operatorname {cl} S$ é o conxunto de todos os límites de todas as secuencias converxentes de puntos en $S.$ Para un espazo topolóxico xeral, esta afirmación segue sendo certa se se substitúe "secuencia" por "secuencia xeneralizada" ("net" en inglés) ou "filtro" (como se describe no artigo sobre filtros en topoloxía).

Exemplos

Considere unha esfera nun espazo tridimensional. Implícitamente hai dúas rexións de interese creadas por esta esfera; a propia esfera e o seu interior (que se chama 3-bóla aberta). É útil distinguir entre o interior e a superficie da esfera, polo que distinguimos entre a 3-bóla aberta (o interior da esfera) e a 3-bóla pechada:que é o pechamento da 3-bóla aberta que a súa vez é a 3-bóla aberta máis a superficie (a superficie e máis a propia esfera).

No espazo topolóxico :

• En calquera espazo, $\varnothing =\operatorname {cl} \varnothing$. Noutras palabras, o peche do conxunto baleiro $\varnothing$ é o propio $\varnothing$.
• En calquera espazo $X,$ $X=\operatorname {cl} X.$

Dando a $\mathbb {R}$ e $\mathbb {C}$ a topoloxía estándar (métrica) :

• Se $X$ é o espazo euclidiano $\mathbb {R}$ de números reais, entón $\operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1]$. Noutras palabras, o pechamento do conxunto $(0,1)$ como un subconxunto de $X$ é $[0,1]$. (Ver intervalo unidade).
• Se $X$ é o espazo euclidiano $\mathbb {R}$, logo o pechamento do conxunto $\mathbb {Q}$ dos números racionais é todo o espazo $\mathbb {R} .$ Dicimos que $\mathbb {Q}$ é denso en $\mathbb {R} .$
• Se $X$ é o plano complexo $\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2},$ entón $\operatorname {cl} _{X}\left(\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}\right)=\{z\in \mathbb {C} :|z|\geq 1\}.$
• Se $S$ é un subconxunto finito dun espazo euclidiano $X,$ entón $\operatorname {cl} _{X}S=S.$ (Para un espazo topolóxico xeral, esta propiedade é equivalente ao axioma T₁.)

Operador de peche

Un operador de peche nun conxunto $X$ é un mapeo do conxunto de partes de $X,$ ${\mathcal {P}}(X)$, en si mesmo que satisfai os axiomas de peche de Kuratowski. Dado un espazo topolóxico $(X,\tau )$, o peche topolóxico induce unha función $\operatorname {cl} _{X}:\wp (X)\to \wp (X)$ que se define enviando un subconxunto $S\subseteq X$ a $\operatorname {cl} _{X}S,$ onde a notación ${\overline {S}}$ ou $S^{-}$ pode usarse no seu lugar. Pola contra, se $\mathbb {c}$ é un operador de peche nun conxunto $X,$ entón obtense un espazo topolóxico definindo os conxuntos pechados como exactamente eses subconxuntos $S\subseteq X$ que satisfagan $\mathbb {c} (S)=S$ (de tal modo que os complementos en $X$ destes subconxuntos forman os conxuntos abertos da topoloxía).

O operador de peche $\operatorname {cl} _{X}$ é dual ao operador interior, que se denota por $\operatorname {int} _{X},$ no sentido de que

$\operatorname {cl} _{X}S=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),$

e tamén

$\operatorname {int} _{X}S=X\setminus \operatorname {cl} _{X}(X\setminus S).$

Polo tanto, a teoría abstracta dos operadores de peche e os axiomas de peche de Kuratowski pódense traducir facilmente á linguaxe dos operadores interiores substituíndo os conxuntos polos seus complementos en $X.$

Funcións e pechamento

Continuidade

Unha función $f:X\to Y$ entre espazos topolóxicos é continua se e só se a preimaxe de cada subconxunto pechado do codominio está pechada no dominio; explicitamente, isto significa: $f^{-1}(C)$ está pechado en $X$ sempre que $C$ é un subconxunto pechado de $Y.$

En termos do operador de peche, $f:X\to Y$ é continua se e só se para todo subconxunto $A\subseteq X,$

$f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{Y}(f(A)).$

É dicir, dado calquera elemento $x\in X$ que pertenza ao peche dun subconxunto $A\subseteq X,$ $f(x)$ pertence necesariamente ao peche de $f(A)$ en $Y.$ Se declaramos que $x$ esta xunto a un subconxunto $A\subseteq X$ se $x\in \operatorname {cl} _{X}A,$ entón esta terminoloxía permite unha descrición sinxela da continuidade: $f$ é continua se e só se para todo subconxunto $A\subseteq X,$ $f$ mapea puntos que están xunto a $A$ con puntos que están xunto a $f(A).$

Así, as funcións continuas son exactamente aquelas funcións que conservan (na dirección cara adiante) a relación de "proximidade" entre puntos e conxuntos: unha función é continua se e só se sempre que un punto está preto dun conxunto, a imaxe dese punto está próxima á imaxe dese conxunto. Do mesmo xeito, $f$ é continua nun punto fixo $x\in X$ se e só se sempre que $x$ está preto dun subconxunto $A\subseteq X$, entón $f(x)$ está preto de $f(A).$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Baker, Crump W. (1991). Introduction to Topology. Wm. C. Brown Publisher. ISBN 0-697-05972-3. 
• Croom, Fred H. (1989). Principles of Topology. Saunders College Publishing. ISBN 0-03-012813-7. 
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967]. Elementary Topology (2nd ed.). Dover. ISBN 0-486-66522-4. 
• Hocking, John G.; Young, Gail S. (1988) [1961]. Topology. Dover. ISBN 0-486-65676-4. 
• Kuratowski, K. (1966). Topology I. Academic Press. 
• Pervin, William J. (1965). Foundations of General Topology. Academic Press. 
• Schubert, Horst (1968). Topology. Allyn and Bacon. 

Outros artigos

• Punto adherente
• Conxunto derivado
• Interior (topoloxía)
• Punto límite dun conxunto

Ligazóns externas

• "Closure of a set". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].