Operador bilineal

Operador bilineal
Subclase de función binaria
Características  Caracterizado por bilinearidade
Códigos e identificadores Freebase /m/01dh1 MathWorld BilinearFunction OpenAlex C142685569
Wikidata

En matemáticas, un operador bilineal é unha función que combina elementos de dous espazos vectoriais para producir un elemento dun terceiro espazo vectorial e é lineal respecto de cada compoñente. A multiplicación de matrices é un exemplo.

Tamén se pode definir un operador bilineal para módulos. Para iso, véxase o artigo emparellamento.

Definición

Espazos vectoriais

Sexan $V,W$ e $X$ tres espazos vectoriais sobre un mesmo corpo $F$. Un operador bilineal é unha aplicación$$B:V\times W\to X$$tal que, para todo $w\in W$, a aplicación $B_{w}$ $$v\mapsto B(v,w)$$é unha aplicación lineal de $V$ en $X$ e, para todo $v\in V$, a aplicación $B_{v}$ $$w\mapsto B(v,w)$$é unha aplicación lineal de $W$ en $X.$ Dito doutro xeito, a aplicación que resulta de fixar un dos argumentos e deixar variar o outro é unha aplicación lineal entre o espazo sobre o que varían os argumentos e o codominio .

O devandito operador satsifai entón as seguintes propiedades.

• Para calquera $\lambda \in F$,$B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w).$
• O operador é aditivo respecto de cada compoñente, é dicir, se $v_{1},v_{2}\in V$ e$w_{1},w_{2}\in W,$ entón$B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)$ e$B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2}).$

Se $V=W$ e se ten que $B(v,w)=B(w,v)$ para todo $v,w\in V$, dicimos que $B$ é simétrico.

Se consideramos como $X$ o corpo $F$, entón a aplicación dise unha forma bilineal (por exemplo: produto escalar, produto interno e forma cadrática).

Véxase tamén

• Tensor
• Produto tensorial

Bibliografía

• H.H. Schaefer; M.P. Wolff. Topological Vector Spaces. Graduate Texts in Mathematics (2 ed.). 
• Trèves, François. Topological vector spaces, distributions and kernels. 

Enlaces externos

• "Bilinear mapping". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].