Número de osculación
En xeometría, o número de osculación é o máximo número de esferas de radio unidade que poden tocar simultaneamente a unha esfera unitaria nun espazo euclídeo de n dimensións.
Números de osculación coñecidos[editar | editar a fonte]
- En dimensión 1, o número de osculación é, obviamente, 2.
- En dimensión 2, é fácil de ver e de probar que o número de osculación é 6.
- En dimensión 3 a resposta xa non é sinxela. Podemos dispoñer facilmente 12 esferas de xeito que cada unha estea en contacto coa central, mais fica moito espazo libre entre unhas e outras, de modo que non é obvio que non haxa sitio para unha esfera número 13. Este foi un tema de controversia entre os matemáticos Isaac Newton e David Gregory. Newton calculaba que o límite era 12 e Gregory que era 13. A cuestión non se resolveu até 1874, e Newton tiña razón.[1]
- En dimensión 4, durante un tempo ignorouse se a solución era 24 ou 25. En 2003, Oleg Musin probou que a solución correcta era 24.[2]
- En dimensión n, con n > 4, ignórase a resposta excepto para n = 8 (240), e n = 24 (196560).[3][4]
Algúns límites coñecidos[editar | editar a fonte]
A seguinte táboa amosa algúns dos límites coñecidos dos números de osculación en varias dimensións. As dimensións nas que se coñece o número de osculación están listadas en negro.
| Dimensión | Límite Mínimo |
Límite Máximo |
|---|---|---|
| 1 | 2 | |
| 2 | 6 | |
| 3 | 12 | |
| 4 | 24 | |
| 5 | 40 | 45 |
| 6 | 72 | 78 |
| 7 | 126 | 135 |
| 8 | 240 | |
| 9 | 306 | 366 |
| 10 | 500 | 567 |
| 11 | 582 | 915 |
| 12 | 840 | 1.416 |
| 13 | 1.130 | 2.233 |
| 14 | 1.582 | 3.492 |
| 15 | 2.564 | 5.431 |
| 16 | 4.320 | 8.313 |
| 17 | 5.346 | 12.215 |
| 18 | 7.398 | 17.877 |
| 19 | 10.688 | 25.901 |
| 20 | 17.400 | 37.974 |
| 21 | 27.720 | 56.852 |
| 22 | 49.896 | 86.537 |
| 23 | 93.150 | 128.096 |
| 24 | 196.560 | |
Notas[editar | editar a fonte]
- ↑ Conway, John H.; Neil J.A. Sloane (1999). Springer-Verlag, ed. Sphere Packings, Lattices and Groups (3rd ed. ed.). Nova York. ISBN 0-387-98585-9.
- ↑ Florian Pfender, Günter M. Ziegler (Setembro 2004). Notices of the American Mathematical Society, ed. "Kissing numbers, sphere packings, and some unexpected proofs" (PDF). pp. 873–883..
- ↑ Levenshtein, V. I. Boundaries for packings in n-dimensional Euclidean space. (ruso) Dokl. Akad. Nauk SSSR 245 (1979), no. 6, 1299—1303
- ↑ Odlyzko, A. M., Sloane, N. J. A. New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in n dimensions. J. Combin. Theory Ser. A 26 (1979), no. 2, 210—214
